Gauss Kuadratürü Düğüm ve Ağırlık Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

Türler Gauss-Legendre Birinci tür Chebyshev İkinci tür Chebyshev Genelleştirilmiş Laguerre Hermite Jacobi Gauss-Lobatto

Mertebe n

Alfa (Laguerre/Jacobi)

Beta (Jacobi)

Anlamlı basamak sayısı 61014

Sonuç

Düğüm sayısı

20

legendre quadrature

i	Düğüm x_i	Ağırlık w_i
1	0,9931285992	0,0176140071
2	0,9639719273	0,0406014298
3	0,9122344283	0,0626720483
4	0,8391169718	0,0832767416
5	0,7463319065	0,1019301198
6	0,6360536807	0,118194532
7	0,510867002	0,1316886384
8	0,3737060887	0,1420961093
9	0,2277858511	0,1491729865
10	0,0765265211	0,1527533871
11	-0,0765265211	0,1527533871
12	-0,2277858511	0,1491729865
13	-0,3737060887	0,1420961093
14	-0,510867002	0,1316886384
15	-0,6360536807	0,118194532
16	-0,7463319065	0,1019301198
17	-0,8391169718	0,0832767416
18	-0,9122344283	0,0626720483
19	-0,9639719273	0,0406014298
20	-0,9931285992	0,0176140071

Ağırlıkların toplamı	2

Bu hesaplayıcı ne işe yarar?

Bu araç, klasik Gauss kuadratür kurallarının düğümlerini (apsisler \(x_i\)) ve ağırlıklarını \(w_i\) hesaplar. Bu değerlerle, ağırlıklı bir integrali sonlu bir ağırlıklı toplamla yaklaşık olarak ifade edersiniz; standart Gauss kurallarında \(2n-1\) dereceye kadar olan polinomlar tam olarak integre edilir. Desteklenen kurallar: Gauss-Legendre, birinci ve ikinci tür Chebyshev, genelleştirilmiş Laguerre, Hermite, Jacobi ve Gauss-Lobatto.

Nasıl kullanılır?

"Türler" altından bir kural seçin, \(n\) mertebesini (düğüm sayısı, 2 ile 100 arası) belirleyin; Laguerre veya Jacobi için Alfa ve Beta üs parametrelerini girin (her ikisi de -1'den büyük olmalıdır). Sonuç, her bir düğümü ve ağırlığını, ayrıca ağırlıkların toplamını listeler. Bu toplam, ağırlık fonksiyonunun 0. momentine eşit olmalıdır (Legendre için bu değer 2, Hermite için ise pi'nin kareköküdür).

Formülün açıklaması

Üç terimli rekürans bağıntısına sahip bir ortogonal polinom ailesi için düğümler, \(n\). dereceden polinomun kökleridir; ağırlıklar ise simetrik üç köşegenli Jacobi matrisi \(J\)'nin özvektörlerinden gelir (Golub-Welsch yöntemi): \(w_i = \mu_0 (v_{1,i})^2\). Chebyshev kuralları tam trigonometrik kapalı formülleri kullanır, Legendre ve Lobatto Legendre polinomu üzerinde Newton iterasyonu uygular; Laguerre, Hermite ve Jacobi ise Jacobi matrisi özçözücüsünü kullanır.

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i), \qquad \text{Gauss-Legendre}$$

Reklam

Gauss quadrature approximates the integral as a weighted sum of the function evaluated at optimally chosen nodes.

Çözümlü örnek

\(n = 2\) için Gauss-Legendre: düğümler artı ve eksi \(1/\sqrt{3} = 0{,}5773502692\)'dir ve her iki ağırlık da 1'e eşittir; dolayısıyla ağırlıkların toplamı 2'dir. Kontrol: \(x^2\) fonksiyonunun \([-1, 1]\) aralığındaki integrali \(2/3\)'tür ve kural şu sonucu verir:

$$1\cdot\tfrac{1}{3} + 1\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}$$

Five-point Gauss-Legendre nodes and weights on the interval [-1, 1], symmetric about zero.

Sıkça sorulan sorular

Ağırlıklar neden pozitif olmalı? Klasik Gauss kurallarında tüm ağırlıklar kesinlikle pozitiftir; negatif bir ağırlık sayısal bir hataya işaret eder.

Ağırlıkların toplamı ne anlama gelir? Aralık üzerinde ağırlık fonksiyonunun integraline (0. momente) eşittir. Hermite için \(e^{-x^2}\) fonksiyonu tüm reel eksen boyunca \(\sqrt{\pi}\)'ye integre edilir.

Alfa ve Beta neden -1'den büyük olmalı? Aksi takdirde ağırlık fonksiyonu integre edilemez ve momentler ıraksar; bu durumda geçerli bir kural mevcut olmaz.