Gauss-Hermite kuadratürü nedir?
Gauss-Hermite kuadratürü, eksi sonsuzdan artı sonsuza kadar tüm reel eksen üzerinde alınan integraller için kullanılan bir sayısal integral yöntemidir. Temelinde \(e^{-x^{2}}\) Gauss ağırlık fonksiyonu yer alır ve (ağırlık ayrıldığında) derecesi \(2n-1\)'e kadar olan her polinom için tam sonuç verir. Tamamen matematiksel bir yöntem olduğundan, kural her ülkede ve her birim sisteminde aynıdır. Fizikte, istatistikte (normal dağılım altındaki beklenen değerlerde) ve mühendislikte yaygın olarak kullanılır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Önce integrand biçimini seçin. \((-\infty, \infty)\) aralığında integrali alınacak fonksiyonun tamamını giriyorsanız g(x) seçeneğini; \(e^{-x^{2}}\) ağırlığını zaten ayırdıysanız f(x) seçeneğini kullanın. İfadeyi x değişkenine bağlı olarak yazın (exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, ^ ve alışılmış işleçleri kullanabilirsiniz). Son olarak düğüm sayısı \(n\)'i belirleyin. Daha fazla düğüm, düzgün ve Gauss benzeri integrandlarda daha yüksek doğruluk sağlar; genellikle 8 ile 30 arası değerler tercih edilir.
Formülün açıklaması
Yöntem, integrandı fizikçilerin Hermite polinomu \(H_n(x)\)'in \(n\) adet kökü \(x_i\) noktasında değerlendirir ve bunları $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}$$ ağırlıklarıyla birleştirir. f modunda tahmin, $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ biçimindeki \(w_i f(x_i)\) terimlerinin toplamıdır. g modunda ise ağırlık, değiştirilmiş ağırlık \(W_i = w_i\, e^{x_i^{2}}\) ile geri bölünerek $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ toplamı elde edilir. Buradaki düğümler ve ağırlıklar, simetrik üç köşegenli Jacobi matrisinin özdeğerleri ve özvektörleri olarak bulan, sayısal açıdan kararlı Golub-Welsch algoritmasıyla üretilir.
Çözümlü örnek
f modunu, \(f(x) = 1\) ve \(n = 2\) ile ele alalım. İki düğüm \(x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}\) olup eşit ağırlıklara, \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0{,}8862269255\), sahiptir. Toplam \(0{,}8862269255 + 0{,}8862269255 = 1{,}7724538509\) olur; bu da reel eksen üzerinde \(e^{-x^{2}}\) integralinin gerçek değeri olan \(\sqrt{\pi}\)'ye tam olarak eşittir. Benzer şekilde, g modunda \(g(x) = \exp(-x^{2})\) ve \(n = 2\) ile değiştirilmiş ağırlıklar aynı sonucu, \(1{,}7724538509\), verir.
Sıkça sorulan sorular
Hangi durumlarda yavaş yakınsar? İntegrand, \(e^{-x^{2}}\) çarpı bir polinom ile iyi yaklaştırılamadığında; örneğin yavaş polinomsal azalan, kalın kuyruklu ya da reel eksen üzerinde tekilliği olan fonksiyonlarda. Böyle durumlarda \(n\)'i artırın veya farklı bir yöntem kullanın.
g modundaki \(e^{x_i^{2}}\) çarpanı ne işe yarar? Yerleşik Gauss ağırlığını sadeleştirerek integrandın tamamını girebilmenizi sağlar. Dış düğümlerde bu çarpan büyüyebileceğinden, iyi sonuçlar için \(g(x)\) en az \(e^{-x^{2}}\) kadar hızlı azalmalıdır.
Kural polinomlar için tam mıdır? Evet; f modunda derecesi \(2n-1\)'e kadar olan her polinomun integralini tam olarak hesaplar.
