Cầu phương Gauss-Hermite là gì?
Cầu phương Gauss-Hermite là một phương pháp tính tích phân số dành cho các tích phân trải dài trên toàn bộ trục số thực, từ âm vô cực đến dương vô cực. Phương pháp này được xây dựng xoay quanh hàm trọng số Gauss \(e^{-x^2}\) và cho kết quả chính xác tuyệt đối với mọi đa thức bậc đến \(2n-1\) (theo nghĩa đã loại bỏ trọng số). Vì bản chất là toán học thuần túy, quy tắc này hoàn toàn giống nhau ở mọi quốc gia và mọi hệ đơn vị. Nó được ứng dụng rộng rãi trong vật lý, thống kê (tính kỳ vọng theo phân phối chuẩn) và kỹ thuật.
Cách dùng máy tính này
Trước tiên hãy chọn dạng hàm dưới dấu tích phân. Chọn g(x) nếu bạn muốn nhập trọn vẹn hàm cần tích phân trên \((-\infty, \infty)\); chọn f(x) nếu bạn đã tách riêng phần trọng số \(e^{-x^2}\) ra ngoài. Tiếp theo, nhập biểu thức theo biến x (bạn có thể dùng exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, dấu ^ và các phép toán quen thuộc). Cuối cùng, đặt số nút \(n\). Càng nhiều nút thì độ chính xác càng cao đối với các hàm trơn, có dạng gần giống Gauss; giá trị thường gặp nằm trong khoảng 8 đến 30.
Giải thích công thức
Phương pháp tính giá trị hàm tại \(n\) nghiệm \(x_i\) của đa thức Hermite (dạng của các nhà vật lý) \(H_n(x)\), rồi kết hợp chúng với các trọng số $$w_i = \frac{2^{n-1}\,n!\,\sqrt{\pi}}{n^2\,[H_{n-1}(x_i)]^2}.$$ Ở chế độ f, ước lượng chính là tổng của \(w_i\,f(x_i)\): $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ Ở chế độ g, trọng số được "chia ngược" trở lại bằng trọng số hiệu chỉnh \(W_i = w_i\,e^{x_i^2}\), cho ta tổng của \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\): $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ Các nút và trọng số ở đây được tạo ra bằng thuật toán Golub-Welsch ổn định về mặt số học, tìm chúng dưới dạng các giá trị riêng và vectơ riêng của một ma trận Jacobi ba đường chéo đối xứng.
Ví dụ minh họa
Hãy xét chế độ f với \(f(x) = 1\) và \(n = 2\). Hai nút là \(x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}}\) với các trọng số bằng nhau \(w = \tfrac{\sqrt{\pi}}{2} = 0.8862269255\). Tổng là $$0.8862269255 + 0.8862269255 = 1.7724538509,$$ đúng bằng \(\sqrt{\pi}\) — chính là giá trị thực của tích phân \(e^{-x^2}\) trên toàn trục số thực. Tương tự, ở chế độ g với \(g(x) = \exp(-x^2)\) và \(n = 2\), các trọng số hiệu chỉnh sẽ cho ra cùng kết quả \(1.7724538509\).
Câu hỏi thường gặp
Khi nào phương pháp hội tụ chậm? Khi hàm dưới dấu tích phân không xấp xỉ tốt bằng \(e^{-x^2}\) nhân với một đa thức, ví dụ các hàm suy giảm chậm theo đa thức, có đuôi dày (fat tails) hoặc có điểm kỳ dị trên trục thực. Khi đó hãy tăng \(n\) hoặc đổi sang phương pháp khác.
Hệ số \(e^{x_i^2}\) trong chế độ g có tác dụng gì? Nó triệt tiêu trọng số Gauss có sẵn để bạn có thể nhập trọn vẹn hàm dưới dấu tích phân. Tại các nút ở phía ngoài, hệ số này có thể trở nên rất lớn, vì vậy \(g(x)\) nên suy giảm ít nhất nhanh bằng \(e^{-x^2}\) để cho kết quả tốt.
Quy tắc có chính xác tuyệt đối với đa thức không? Có. Ở chế độ f, nó tích phân chính xác mọi đa thức bậc đến \(2n-1\).
