गाउस-हर्मिट क्वाडरेचर क्या है?
गाउस-हर्मिट क्वाडरेचर एक संख्यात्मक इंटीग्रेशन विधि है, जो ऋण अनंत से धन अनंत तक यानी पूरी वास्तविक रेखा पर फैले इंटीग्रल के लिए इस्तेमाल होती है। यह गॉसियन भार फलन \(e^{-x^{2}}\) के इर्द-गिर्द बनी है और (भार हटाए जाने के अर्थ में) \(2n-1\) तक की डिग्री वाले किसी भी बहुपद के लिए बिल्कुल सटीक परिणाम देती है। चूँकि यह शुद्ध गणित है, इसलिए यह नियम हर देश और हर इकाई-प्रणाली में एक समान रहता है। भौतिकी, सांख्यिकी (सामान्य वितरण के अंतर्गत प्रत्याशा/expectation) और इंजीनियरिंग में इसका व्यापक उपयोग होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
सबसे पहले इंटीग्रैंड का रूप चुनें। अगर आप वह पूरा फलन दर्ज कर रहे हैं जिसका इंटीग्रेशन \((-\infty, \infty)\) पर करना है, तो g(x) चुनें; और अगर आपने पहले ही \(e^{-x^{2}}\) भार को अलग कर लिया है, तो f(x) चुनें। इसके बाद चर \(x\) में अपना व्यंजक लिखें (आप exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, ^ और सामान्य ऑपरेटरों का प्रयोग कर सकते हैं)। अंत में नोड्स की संख्या \(n\) तय करें। चिकने (smooth) और गॉसियन जैसे इंटीग्रैंड के लिए अधिक नोड्स बेहतर सटीकता देते हैं; आमतौर पर 8 से 30 तक के मान उपयुक्त रहते हैं।
सूत्र की व्याख्या
यह विधि इंटीग्रैंड का मूल्यांकन फिज़िसिस्ट्स हर्मिट बहुपद \(H_n(x)\) के \(n\) मूलों \(x_i\) पर करती है और उन्हें भार $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}$$ के साथ जोड़ती है। f-मोड में अनुमान $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ \(w_i f(x_i)\) का योग होता है। g-मोड में संशोधित भार \(W_i = w_i\, e^{x_i^{2}}\) के द्वारा भार वापस हटा दिया जाता है, जिससे $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ \(w_i\, e^{x_i^{2}}\, g(x_i)\) का योग मिलता है। यहाँ नोड्स और भार संख्यात्मक रूप से स्थिर गोलब-वेल्श (Golub-Welsch) एल्गोरिथम से निकाले जाते हैं, जो इन्हें एक सममित त्रिविकर्णीय (tridiagonal) जेकोबी मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर के रूप में ज्ञात करता है।
हल किया गया उदाहरण
f-मोड में \(f(x) = 1\) और \(n = 2\) लें। दोनों नोड्स \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\) हैं और दोनों के भार बराबर \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0.8862269255\) हैं। योग है $$0.8862269255 + 0.8862269255 = 1.7724538509,$$ जो ठीक \(\sqrt{\pi}\) के बराबर है — यानी वास्तविक रेखा पर \(e^{-x^{2}}\) के इंटीग्रल का सही मान। इसी तरह, g-मोड में \(g(x) = e^{-x^{2}}\) और \(n = 2\) के साथ संशोधित भार वही उत्तर \(1.7724538509\) देते हैं।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
यह धीमी गति से कब अभिसरित (converge) होती है? जब इंटीग्रैंड को \(e^{-x^{2}}\) गुणा किसी बहुपद के रूप में अच्छी तरह दर्शाया न जा सके — जैसे धीमे बहुपदीय क्षय वाले फलन, मोटी टेल (fat tails) वाले फलन, या वास्तविक अक्ष पर सिंगुलैरिटी (singularity) वाले फलन। ऐसे में \(n\) बढ़ाएँ या कोई दूसरी विधि अपनाएँ।
g-मोड में \(e^{x_i^{2}}\) गुणक क्या काम करता है? यह अंतर्निहित गॉसियन भार को रद्द कर देता है, ताकि आप पूरा इंटीग्रैंड दे सकें। बाहरी नोड्स के लिए यह काफ़ी बड़ा हो सकता है, इसलिए अच्छे परिणामों के लिए \(g(x)\) का क्षय कम-से-कम \(e^{-x^{2}}\) जितनी तेज़ी से होना चाहिए।
क्या यह नियम बहुपदों के लिए बिल्कुल सटीक है? हाँ, f-मोड में यह \(2n-1\) तक की डिग्री वाले किसी भी बहुपद का इंटीग्रेशन बिल्कुल सटीक करता है।
