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परिणाम

रेखाखंड की लंबाई

इकाई

क्षैतिज परिवर्तन (Δx = x₂ − x₁)	3
ऊर्ध्वाधर परिवर्तन (Δy = y₂ − y₁)	4

रेखाखंड की लंबाई क्या होती है?

रेखाखंड किसी सीधी रेखा का वह हिस्सा है जो दो अंत्य बिंदुओं (endpoints) के बीच घिरा होता है। इसकी लंबाई बस इन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सीधी दूरी है। जब बिंदु कार्तीय तल (Cartesian plane) में निर्देशांक के रूप में दिए हों, तो आप दूरी सूत्र (distance formula) की मदद से यह लंबाई बिल्कुल सटीक निकाल सकते हैं। यह सूत्र असल में पाइथागोरस प्रमेय का ही सीधा रूप है।

निर्देशांक तल पर दो नामांकित बिंदुओं के बीच एक रेखाखंड — निर्देशांक तल पर बिंदु $(x_1,y_1)$ और $(x_2,y_2)$ को जोड़ने वाला एक रेखाखंड।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

पहले अंत्य बिंदु के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और दूसरे अंत्य बिंदु के निर्देशांक $(x_2, y_2)$ दर्ज करें। कैलकुलेटर निर्देशांकों को घटाकर क्षैतिज परिवर्तन ($\Delta x$) और ऊर्ध्वाधर परिवर्तन ($\Delta y$) निकालता है, फिर दोनों का वर्ग करता है, उन्हें जोड़ता है और वर्गमूल लेकर रेखाखंड की लंबाई दे देता है। निर्देशांक धनात्मक, ऋणात्मक या दशमलव — किसी भी रूप में हो सकते हैं।

सूत्र को समझें

लंबाई इस प्रकार निकलती है:

$$L = \sqrt{\left(x_2 - x_1\right)^2 + \left(y_2 - y_1\right)^2}$$

अंतर $(x_2 - x_1)$ और $(y_2 - y_1)$ एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बनाते हैं, और रेखाखंड स्वयं उसका कर्ण होता है। वर्ग करने से ऋण चिह्न हट जाते हैं, इसलिए आप किस क्रम में घटाते हैं इससे परिणाम पर कोई फर्क नहीं पड़ता।

समकोण त्रिभुज जो क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर भुजाएँ दिखाता है जो दूरी सूत्र बनाती हैं — दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतरों का उपयोग करके प्राप्त होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

बिंदु A(1, 2) और B(4, 6) के बीच लंबाई निकालें। यहाँ $\Delta x = 4 - 1 = 3$ और $\Delta y = 6 - 2 = 4$ है। तो $$L = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ इकाई}$$ यह वही प्रसिद्ध 3-4-5 समकोण त्रिभुज है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? नहीं। दोनों अंत्य बिंदुओं को आपस में बदलने पर $\Delta x$ और $\Delta y$ के चिह्न उलट जाते हैं, लेकिन वर्ग करने पर लंबाई वही रहती है।

परिणाम किस इकाई में आता है? परिणाम उसी इकाई में होता है जिसमें आपके निर्देशांक हैं। यदि अक्ष सेंटीमीटर में हैं, तो लंबाई भी सेंटीमीटर में आएगी।

क्या मैं ऋणात्मक निर्देशांक इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ। घटाने की प्रक्रिया ऋणात्मक मानों को सही ढंग से संभाल लेती है, जैसे $(-2, -1)$ से $(2, 2)$ तक।

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