वृत्तीय खंड क्या होता है?
वृत्तीय खंड किसी वृत्त के अंदर का वह "धनुष जैसा" हिस्सा है जो एक सीधी जीवा और उससे कटने वाले चाप के बीच घिरा होता है। इसे दो आसानी से नापे जाने वाले मानों से बताया जाता है: जीवा की लंबाई c (सीधा आधार) और ऊँचाई h, जिसे सैजिटा भी कहते हैं — यानी जीवा के बीच वाले बिंदु से चाप तक की सबसे अधिक दूरी। यह कैलकुलेटर c और h लेकर खंड का क्षेत्रफल S, चाप द्वारा बनाया गया केंद्रीय कोण (रेडियन और डिग्री दोनों में), चाप की लंबाई L, और मूल वृत्त की त्रिज्या r लौटाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
जीवा की लंबाई और खंड की ऊँचाई किसी भी एक समान लंबाई इकाई में डालें (मीटर, इंच, पिक्सेल — जो आपको पसंद हो)। लंबाई वाले सभी परिणाम (L और r) उसी इकाई में मिलेंगे, क्षेत्रफल S उसी इकाई के वर्ग में, और कोण रेडियन तथा डिग्री में। ऊँचाई h शून्य से बड़ी होनी चाहिए।
सूत्रों की व्याख्या
सबसे पहले त्रिज्या जीवा संबंध \(c = 2\sqrt{h(2r - h)}\) से निकाली जाती है, जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर मानक सैजिटा सूत्र मिलता है
$$r = \frac{h}{2} + \frac{c^{2}}{8h}$$इसके बाद केंद्रीय कोण
$$\theta = 2\cos^{-1}\!\left(1 - \frac{h}{r}\right)$$होता है, चाप की लंबाई \(L = r\cdot\theta\) होती है, और खंड का क्षेत्रफल
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}$$होता है। चूँकि \(\sqrt{h(2r - h)}\) का मान \(c/2\) के बराबर होता है, इसलिए क्षेत्रफल को इस तरह भी लिख सकते हैं:
$$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\frac{c}{2}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(c = 1.2\) और \(h = 0.5\): तो \(r = 0.25 + 1.44/4 = 0.61\)। अब \(1 - h/r = 0.180328\), इसलिए \(\theta = 2\cdot\operatorname{acos}(0.180328) = 2.778906\) रेडियन \(= 159.22^\circ\)। चाप की लंबाई \(L = 0.61 \times 2.778906 = 1.695133\)। चूँकि \(\sqrt{0.5\cdot 0.72} = 0.6\), इसलिए क्षेत्रफल
$$S = 1.389453\cdot 0.3721 - 0.11\cdot 0.6 = 0.516916 - 0.066 = \mathbf{0.450916}$$होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर h का मान r के बराबर हो तो? तब खंड ठीक एक अर्धवृत्त बन जाता है और \(\theta = \pi\) (180°) होता है।
क्या h, r से बड़ा हो सकता है? हाँ — तब खंड अर्धवृत्त से बड़ा होगा। यह सूत्र तब तक सही रहता है जब तक \(h \le 2r\) है; \(h = 2r\) पर आपको पूरा वृत्त मिल जाता है (\(\theta = 2\pi\))।
मुझे कौन-सी इकाई इस्तेमाल करनी चाहिए? कोई भी एक समान लंबाई इकाई। परिणाम उसी इकाई को अपना लेता है (लंबाई, लंबाई का वर्ग, और कोण)।
