नेकलेस परम्यूटेशन क्या है?
नेकलेस परम्यूटेशन (जापानी में "जुज़ु जुनरेत्सु" यानी माला/जपमाला परम्यूटेशन) यह गिनता है कि n अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त में कितने अलग-अलग तरीकों से सजाया जा सकता है, जब दो विन्यासों को एक ही माना जाता है — यदि एक को वृत्त को घुमाकर (rotation) या पूरी माला को पलटकर (reflection यानी परावर्तन) दूसरे में बदला जा सके। यह वृत्ताकार परम्यूटेशन ("एन जुनरेत्सु") से अलग है, जिसमें केवल घुमाव को समान माना जाता है। ध्यान दें कि यह कॉम्बिनेटोरिक्स का एक सार्वभौमिक नियम है — यह सूत्र हर जगह एक जैसा ही रहता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
n का एक शुरुआती मान और एक अंतिम मान दर्ज करें (दोनों 1 से 100 के बीच), प्रदर्शन के लिए सार्थक अंकों (significant digits) में परिशुद्धता चुनें, और यह टूल उस रेंज के हर पूर्णांक n के लिए एक पंक्ति में उसका नेकलेस परम्यूटेशन मान दिखा देगा। चूँकि ये संख्याएँ फैक्टोरियल की दर से बढ़ती हैं, बड़े मानों को आपकी चुनी हुई परिशुद्धता तक गोल करके वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) में दिखाया जाता है, जबकि जो मान पूरे फिट हो जाते हैं उन्हें पूरा-का-पूरा दर्शाया जाता है।
सूत्र की पूरी व्याख्या
शुरुआत n अलग-अलग वस्तुओं के सभी \(n!\) रैखिक क्रमों से करें। उन्हें वृत्त में रखने पर किसी भी क्रम के n घुमाव आपस में समान हो जाते हैं, इसलिए n से भाग देकर वृत्ताकार परम्यूटेशन मिलते हैं: \(n!/n = (n-1)!\)। माला को पलटा भी जा सकता है, जिससे हर विन्यास उसके दर्पण-प्रतिबिंब के साथ जुड़ जाता है, इसलिए और 2 से भाग दें:
$$N(n) = \frac{(n-1)!}{2}, \quad n = \text{Start } n \;\ldots\; \text{End } n$$\(n = 1\) या \(n = 2\) के लिए यह पूर्ण संख्या नहीं बनती, इसलिए परंपरा के अनुसार दोनों के लिए ठीक 1 विन्यास माना जाता है।
हल किया गया उदाहरण
n = 3 से 8 की रेंज के लिए: n=3 पर $$\frac{(3-1)!}{2} = \frac{2}{2} = 1;$$ n=4 पर \(6/2 = 3\); n=5 पर \(24/2 = 12\); n=6 पर \(120/2 = 60\); n=7 पर \(720/2 = 360\); n=8 पर \(5040/2 = 2520\)। डिफ़ॉल्ट रेंज के सबसे ऊपरी छोर पर, n=30 देता है \(29!/2 = 4{,}420{,}880{,}996{,}869{,}850{,}977{,}271{,}808{,}000{,}000\), यानी लगभग \(4.42 \times 10^{30}\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
2 से भाग क्यों देते हैं? यह 2 परावर्तन सममिति (reflection symmetry) को हटाता है: पलटने पर माला एक जैसी ही दिखती है, इसलिए एक ही चक्रीय क्रम के दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (counter-clockwise) रूपों को सिर्फ़ एक बार गिना जाता है।
n=1 और n=2 ख़ास क्यों हैं? सामान्य सूत्र दोनों के लिए 0.5 देता है, जो कोई मान्य गिनती नहीं है; ज्यामितीय रूप से एक या दो वस्तुओं को सजाने का केवल एक ही तरीका होता है, इसलिए हम 1 दर्शाते हैं।
वृत्ताकार परम्यूटेशन से क्या फ़र्क है? वृत्ताकार परम्यूटेशन केवल घुमाव तक गिनते हैं और \((n-1)!\) के बराबर होते हैं; नेकलेस परम्यूटेशन परावर्तन की भी अनुमति देते हैं और \(n \geq 3\) के लिए \((n-1)!/2\) के बराबर होते हैं।
