वृत्तीय क्रमचय कैलकुलेटर

परिणाम

वृत्तीय क्रमचयों की संख्या

अलग-अलग वृत्तीय व्यवस्थाएँ

वस्तुओं की संख्या (n)	5
फॉर्मूला	(n − 1)!
गणना	(5 − 1)! = 24

वृत्तीय क्रमचय क्या है?

वृत्तीय क्रमचय यह गिनता है कि n भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त (गोले) के चारों ओर कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, जबकि एक ही व्यवस्था के घुमाव (rotations) को समान माना जाता है। एक पंक्ति (रैखिक व्यवस्था) के विपरीत, वृत्त में कोई निश्चित शुरुआती बिंदु नहीं होता, इसलिए सबको एक स्थान बाईं ओर खिसका देने पर वही व्यवस्था बन जाती है। यह कैलकुलेटर $(n - 1)!$ के रूप में सटीक संख्या लौटाता है और इसके लिए अनियंत्रित-परिशुद्धता (arbitrary-precision) गणित का उपयोग करता है, ताकि बड़े मानों के लिए भी परिणाम बिल्कुल सटीक रहे।

एक वृत्त के चारों ओर रखी चार अलग-अलग रंग की वस्तुएँ, घुमाव वाले तीरों के साथ — वे वृत्तीय व्यवस्थाएँ जो केवल घुमाव से भिन्न होती हैं, एक ही गिनी जाती हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

भिन्न वस्तुओं की संख्या n दर्ज करें (एक धनात्मक पूर्णांक, $n \ge 1$) और वृत्तीय क्रमचयों की संख्या देख लें। उदाहरण के लिए, n व्यक्तियों को एक गोल मेज़ के चारों ओर बैठाने के तरीके, या n भिन्न मनकों को एक निश्चित वलय (ring) दिशा में व्यवस्थित करने के तरीके $(n - 1)!$ होते हैं।

फॉर्मूला की व्याख्या

n भिन्न वस्तुओं के रैखिक क्रमचयों की संख्या $n!$ होती है। वृत्त में, प्रत्येक अनूठी व्यवस्था को n अलग-अलग परंतु समतुल्य स्थितियों में घुमाया जा सकता है (हर संभावित शुरुआती वस्तु के लिए एक)। रैखिक संख्या को इन n घुमावों से भाग देने पर मिलता है:

$$\frac{n!}{n} = (n - 1)!$$

ध्यान दें: यह मानक वृत्तीय क्रमचय है। यह दर्पण-प्रतिबिंबों (घड़ी की दिशा बनाम घड़ी की विपरीत दिशा) को समान नहीं मानता। यदि प्रतिबिंबों को भी समान माना जाए — जैसे किसी पलटने योग्य हार या कंगन में — तो $n \ge 3$ के लिए संख्या $(n - 1)! / 2$ हो जाती है।

एक रेखीय व्यवस्था वृत्त में सिमटते हुए एक स्थान निश्चित करने का विभाजन दिखाती है — एक वस्तु का स्थान निश्चित करने से घुमाव की पुनरावृत्तियाँ हट जाती हैं, जिससे $(n-1)!$ व्यवस्थाएँ मिलती हैं।

हल किया गया उदाहरण

$n = 5$ के लिए: $$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ अर्थात, घुमावों को समान मानने पर पाँच भिन्न व्यक्तियों को एक गोल मेज़ के चारों ओर 24 अलग-अलग तरीकों से बैठाया जा सकता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$n = 1$ या $n = 2$ के लिए उत्तर क्या है? $n = 1$ के लिए, $(1 - 1)! = 0! = 1$। $n = 2$ के लिए, $(2 - 1)! = 1! = 1$ — वृत्त में दो वस्तुओं की घुमाव के आधार पर केवल एक ही अलग व्यवस्था होती है।

घटाने के बजाय n से भाग क्यों देते हैं? क्योंकि प्रत्येक वृत्तीय व्यवस्था ठीक n समतुल्य रैखिक क्रमों के अनुरूप होती है (हर घुमाव के लिए एक), इसलिए कुल $n!$ को n से भाग दिया जाता है, जो सरल होकर $(n - 1)!$ बन जाता है।

क्या यह हार या कंगन गिनता है? नहीं। यह मानक वृत्तीय क्रमचय $(n - 1)!$ की गणना करता है। हार/कंगन की गिनती, जो दर्पण-प्रतिबिंबों को भी एक मान लेती है, $n \ge 3$ के लिए $(n - 1)! / 2$ का उपयोग करती है।

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