¿Qué es una permutación circular?
Una permutación circular cuenta de cuántas formas distintas se pueden colocar n objetos diferentes alrededor de un círculo cuando las rotaciones de una misma disposición se consideran idénticas. A diferencia de una fila (una disposición lineal), un círculo no tiene un punto de inicio fijo: si todos avanzan un asiento hacia la izquierda, obtenemos exactamente la misma disposición. Esta calculadora devuelve el resultado exacto, \((n - 1)!\), usando aritmética de precisión arbitraria para que incluso los valores grandes se mantengan exactos.
Cómo usar esta calculadora
Introduce el número de objetos diferentes n (un número entero positivo, \(n \ge 1\)) y obtendrás al instante la cantidad de permutaciones circulares. Por ejemplo, el número de maneras de sentar a n personas alrededor de una mesa redonda, o de disponer n cuentas distintas en un anillo con una orientación fija, es \((n - 1)!\).
La fórmula explicada
El número de permutaciones lineales de n objetos diferentes es \(n!\). En un círculo, cada disposición única puede girarse hasta n posiciones diferentes pero equivalentes (una por cada objeto que podría quedar como inicio). Al dividir el total lineal entre esas n rotaciones obtenemos:
$$P_c = \frac{n!}{n} = \left(\text{Objects } (n) - 1\right)!$$
Ten en cuenta que esta es la permutación circular estándar. No considera iguales las reflexiones especulares (sentido horario frente a antihorario). Si las reflexiones también se contaran como idénticas — como ocurre con un collar o una pulsera que se pueden voltear — el número sería \((n - 1)! / 2\) para \(n \ge 3\).
Ejemplo resuelto
Para n = 5: $$(5 - 1)! = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$ Es decir, cinco personas distintas pueden sentarse alrededor de una mesa redonda de 24 formas diferentes una vez que las rotaciones se consideran equivalentes.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es el resultado para n = 1 o n = 2? Para n = 1, \((1 - 1)! = 0! = 1\). Para n = 2, \((2 - 1)! = 1! = 1\) — dos objetos en un círculo solo tienen una disposición distinta si tenemos en cuenta las rotaciones.
¿Por qué se divide entre n en lugar de restar? Porque cada disposición circular se corresponde con exactamente n ordenaciones lineales equivalentes (una por cada rotación), divides el total \(n!\) entre n, lo que se simplifica a \((n - 1)!\).
¿Esto cuenta collares o pulseras? No. Calcula la permutación circular estándar \((n - 1)!\). Los recuentos de collares o pulseras, que además agrupan las imágenes especulares, utilizan \((n - 1)! / 2\) para \(n \ge 3\).
