¿Qué es una permutación circular?
Una permutación circular cuenta las maneras distintas de disponer n objetos diferentes alrededor de un círculo, considerando como idénticas aquellas disposiciones que solo se diferencian por una rotación. Aunque existen \(n!\) formas de ordenar n objetos en fila, cada disposición circular se corresponde con n copias rotadas, de modo que el número de disposiciones circulares distintas es \(n! / n = (n - 1)!\). Esta calculadora construye una tabla de \((n - 1)!\) para cada número entero n dentro del rango que elijas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce un valor inicial y un valor final para n (cada uno entre 1 y 100) y elige cuántas cifras significativas quieres mostrar. La herramienta calcula \((n - 1)!\) de forma exacta mediante enteros de precisión arbitraria; después muestra el entero completo cuando cabe dentro del número de cifras elegido o, en caso contrario, lo redondea a notación científica. Como los factoriales crecen a una velocidad enorme, los valores de n grandes aparecen así: \(8{,}84 \times 10^{30}\).
La fórmula explicada
Fija un objeto en su sitio para eliminar la simetría rotacional; los \((n - 1)\) objetos restantes pueden ordenarse de \((n - 1)!\) maneras. Por eso las permutaciones circulares equivalen a \((n - 1)!\) y no a \(n!\).
$$P_c(n) = (n-1)! = \prod_{k=2}^{n-1} k \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$Ten en cuenta que aquí las reflexiones NO se consideran iguales, por lo que se trata del recuento dirigido habitual y no del recuento de collares \((n - 1)! / 2\).
Ejemplo resuelto
Para n de 3 a 6: con n=3 obtenemos \(2! = 2\), con n=4 da \(3! = 6\), con n=5 da \(4! = 24\) y con n=6 da \(5! = 120\). La tabla tiene, por tanto, 4 filas. Para un valor mayor, n=30 da $$29! = 8\,841\,761\,993\,739\,701\,954\,543\,616\,000\,000,$$ es decir, aproximadamente \(8{,}84 \times 10^{30}\).
Preguntas frecuentes
¿Por qué n=1 y n=2 dan 1 en ambos casos? Porque \(0! = 1\) y \(1! = 1\); tanto un único objeto como dos objetos en un círculo tienen exactamente una disposición distinta.
¿Por qué notación científica? 99! tiene unas 156 cifras, así que los enteros completos resultan ilegibles; el ajuste de cifras significativas afecta solo a la visualización y no altera el cálculo exacto subyacente.
¿Se cuentan las reflexiones como iguales? No. Esta herramienta calcula \((n - 1)!\). Si se identificaran las reflexiones, el recuento se reduciría a la mitad: \((n - 1)! / 2\).
