वृत्तीय क्रमचय (Circular Permutation) क्या है?
वृत्तीय क्रमचय यह गिनता है कि n अलग-अलग वस्तुओं को एक वृत्त (गोले) के चारों ओर कितने भिन्न तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, जहाँ केवल घुमाव (rotation) से बने व्यवस्थापन एक ही माने जाते हैं। एक सीधी रेखा में n वस्तुओं को \(n!\) तरीकों से रखा जा सकता है, लेकिन प्रत्येक वृत्तीय व्यवस्था के n घुमी हुई प्रतियाँ होती हैं, इसलिए भिन्न वृत्तीय व्यवस्थाओं की संख्या \(n! / n = (n - 1)!\) होती है। यह कैलकुलेटर आपकी चुनी हुई रेंज के हर पूर्णांक n के लिए \((n - 1)!\) की एक पूरी तालिका तैयार करता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
n के लिए एक प्रारंभिक मान और एक अंतिम मान दर्ज करें (दोनों 1 और 100 के बीच), फिर चुनें कि कितने सार्थक अंक (significant digits) दिखाने हैं। यह टूल उच्च-परिशुद्धता वाले पूर्णांकों का उपयोग करके \((n - 1)!\) की सटीक गणना करता है, और जब परिणाम आपके चुने हुए अंकों की सीमा में आ जाए तो पूरा पूर्णांक दिखाता है, अन्यथा उसे वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) में सीमित कर देता है। चूँकि क्रमगुणित (factorial) बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं, बड़े n के मान \(8.84 \times 10^{30}\) जैसे दिखाए जाते हैं।
सूत्र की व्याख्या
घुमाव की समरूपता हटाने के लिए किसी एक वस्तु को स्थिर मान लें; तब बची हुई \((n - 1)\) वस्तुओं को \((n - 1)!\) तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। यही कारण है कि वृत्तीय क्रमचय \(n!\) के बजाय \((n - 1)!\) के बराबर होते हैं।
$$P_c(n) = (n-1)! \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$
ध्यान दें कि यहाँ परावर्तन (reflection) को समान नहीं माना जाता, इसलिए यह मानक दिशात्मक (directed) गणना है, न कि माला-गणना (necklace count) \((n - 1)! / 2\)।
हल किया हुआ उदाहरण
n = 3 से 6 तक: n=3 पर \(2! = 2\), n=4 पर \(3! = 6\), n=5 पर \(4! = 24\), और n=6 पर \(5! = 120\) मिलता है। इस तरह तालिका में 4 पंक्तियाँ बनती हैं। किसी बड़े मान के लिए, n=30 पर $$29! = 8{,}841{,}761{,}993{,}739{,}701{,}954{,}543{,}616{,}000{,}000$$ आता है, यानी लगभग \(8.84 \times 10^{30}\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
n=1 और n=2 दोनों के लिए परिणाम 1 क्यों आता है? क्योंकि \(0! = 1\) और \(1! = 1\); एक वस्तु या दो वस्तुएँ एक वृत्त पर रखने पर प्रत्येक की ठीक एक ही भिन्न व्यवस्था होती है।
वैज्ञानिक संकेतन क्यों? 99! में लगभग 156 अंक होते हैं, इसलिए पूरे पूर्णांक पढ़ने योग्य नहीं रह जाते; सार्थक अंकों की सेटिंग केवल प्रदर्शन को नियंत्रित करती है और मूल सटीक गणना को प्रभावित नहीं करती।
क्या परावर्तन (reflection) को समान गिना जाता है? नहीं। यह टूल \((n - 1)!\) की गणना करता है। यदि परावर्तन को समान माना जाए तो गिनती आधी होकर \((n - 1)! / 2\) हो जाती।
