Qu'est-ce qu'une permutation circulaire ?
Une permutation circulaire dénombre les façons distinctes de disposer n objets distincts autour d'un cercle, en considérant comme identiques les arrangements qui ne diffèrent que par une rotation. Si l'on peut aligner n objets en file de \(n!\) manières, chaque disposition circulaire correspond à n copies tournées les unes par rapport aux autres : le nombre de dispositions circulaires distinctes vaut donc \(n! / n = (n - 1)!\). Ce calculateur construit une table de \((n - 1)!\) pour chaque entier n de la plage que vous choisissez.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez une valeur de départ et une valeur de fin pour n (chacune comprise entre 1 et 100), puis indiquez le nombre de chiffres significatifs à afficher. L'outil calcule \((n - 1)!\) de façon exacte à l'aide d'entiers à précision arbitraire, puis affiche l'entier complet lorsqu'il tient dans le nombre de chiffres demandé, ou l'arrondit en notation scientifique dans le cas contraire. Comme les factorielles croissent extrêmement vite, les valeurs pour les grands n s'affichent par exemple sous la forme \(8{,}84 \times 10^{30}\).
La formule expliquée
Fixez un objet à une position donnée pour éliminer la symétrie de rotation : les \((n - 1)\) objets restants peuvent alors être disposés de \((n - 1)!\) façons. C'est pourquoi le nombre de permutations circulaires vaut $$P_c(n) = (n-1)! = \prod_{k=2}^{n-1} k \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$ et non \(n!\). À noter : les réflexions ne sont PAS considérées comme identiques ici. Il s'agit donc du décompte orienté classique, et non du décompte de colliers \((n - 1)! / 2\).
Exemple concret
Pour n allant de 3 à 6 : n=3 donne \(2! = 2\), n=4 donne \(3! = 6\), n=5 donne \(4! = 24\) et n=6 donne \(5! = 120\). La table comporte donc 4 lignes. Pour une valeur plus grande, n=30 donne $$29! = 8\,841\,761\,993\,739\,701\,954\,543\,616\,000\,000 \approx 8{,}84 \times 10^{30}$$
FAQ
Pourquoi n=1 et n=2 donnent-ils tous deux 1 ? Parce que \(0! = 1\) et \(1! = 1\) : un seul objet, ou deux objets, sur un cercle n'admettent chacun qu'une seule disposition distincte.
Pourquoi la notation scientifique ? \(99!\) compte environ 156 chiffres : les entiers complets deviennent illisibles. Le réglage des chiffres significatifs ne concerne que l'affichage et n'a aucune incidence sur le calcul exact réalisé en interne.
Les réflexions sont-elles comptées comme identiques ? Non. Cet outil calcule \((n - 1)!\). Si l'on identifiait les réflexions entre elles, le décompte serait divisé par deux, soit \((n - 1)! / 2\).
