円順列とは
円順列とは、異なるn個のものを円形に並べたときの並べ方の総数のことです。回転して重なる並べ方は同じものとみなすのがポイントです。一列に並べる場合の順列はn!通りですが、円形では回転によって重なるn通りが同一視されるため、円順列の総数は \(n! \div n = (n-1)!\) となります。この計算ツールでは、指定した範囲のすべての整数nについて \((n-1)!\) を求め、一覧表として出力します。
使い方
nの開始値と終了値（いずれも1〜100）を入力し、表示する有効桁数を選びます。ツールは任意精度の整数演算で \((n-1)!\) を厳密に計算し、指定した桁数に収まる場合は整数のまま、収まらない場合は指数表記に丸めて表示します。階乗は非常に速く増大するため、nが大きい場合は \(8.84 \times 10^{30}\) のような形で表示されます。
公式の考え方
回転による重複をなくすために、まず1つを固定して考えます。残る \((n-1)\) 個の並べ方は \((n-1)!\) 通りです。これが、円順列が \(n!\) ではなく \((n-1)!\) になる理由です。 $$P_c(n) = (n-1)! \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$ なお、ここでは裏返し（鏡映）を同じものとはみなしていません。つまり向きを区別した標準的な円順列であり、じゅず順列（数珠順列）の \((n-1)! \div 2\) とは異なります。
計算例
nを3から6まで変化させた場合：n＝3 では \(2! = 2\)、n＝4 では \(3! = 6\)、n＝5 では \(4! = 24\)、n＝6 では \(5! = 120\) となり、表は4行になります。さらに大きな値では、n＝30 のとき \(29! = 8{,}841{,}761{,}993{,}739{,}701{,}954{,}543{,}616{,}000{,}000\)、およそ \(8.84 \times 10^{30}\) です。
よくある質問
なぜ n＝1 と n＝2 はどちらも1になるのですか？ \(0! = 1\)、\(1! = 1\) だからです。1個だけ、または2個を円形に並べる場合、いずれも異なる並べ方はちょうど1通りしかありません。
なぜ指数表記が使われるのですか？ \(99!\) はおよそ156桁にもなるため、整数のままでは読みにくくなってしまいます。有効桁数の設定は表示にのみ影響し、内部の厳密な計算結果そのものには影響しません。
裏返しは同じものとして数えますか？ いいえ。このツールは \((n-1)!\) を計算します。裏返しを同一とみなす場合は、その半分の \((n-1)! \div 2\)（数珠順列）になります。
