Что такое круговая перестановка?
Круговая перестановка показывает, сколькими различными способами можно расставить n различных предметов по кругу, если расстановки, которые отличаются лишь поворотом, считаются одинаковыми. В ряд n предметов можно выстроить \(n!\) способами, но каждой круговой расстановке соответствуют n повёрнутых копий, поэтому число различных круговых расстановок равно \(n! / n = (n - 1)!\). Этот калькулятор строит таблицу значений \((n - 1)!\) для каждого целого n из выбранного вами диапазона.
Как пользоваться калькулятором
Укажите начальное и конечное значение n (каждое — от 1 до 100), а затем выберите, сколько значащих цифр выводить. Инструмент вычисляет \((n - 1)!\) точно, с помощью целых чисел произвольной точности, и выводит полное число, если оно укладывается в заданное количество цифр, либо округляет его до научной нотации. Поскольку факториалы растут чрезвычайно быстро, значения для больших n отображаются в виде \(8{,}84 \times 10^{30}\).
Разбор формулы
Зафиксируем один предмет на месте, чтобы убрать симметрию поворота; оставшиеся \((n - 1)\) предметов можно расставить \((n - 1)!\) способами. Именно поэтому круговых перестановок ровно \((n - 1)!\), а не \(n!\). Обратите внимание: отражения здесь НЕ считаются одинаковыми, поэтому это стандартный ориентированный подсчёт, а не подсчёт ожерелий \((n - 1)! / 2\).
$$P_c(n) = (n-1)! = \prod_{k=2}^{n-1} k \quad \text{for } n = \text{Start } n \ \text{to} \ \text{End } n$$
Разобранный пример
Для n от 3 до 6: при n=3 получаем \(2! = 2\), при n=4 — \(3! = 6\), при n=5 — \(4! = 24\), а при n=6 — \(5! = 120\). Значит, в таблице будет 4 строки. Для большего значения: при n=30 получаем \(29! = 8\,841\,761\,993\,739\,701\,954\,543\,616\,000\,000\), то есть примерно \(8{,}84 \times 10^{30}\).
Частые вопросы
Почему при n=1 и n=2 результат одинаковый — 1? Потому что \(0! = 1\) и \(1! = 1\); один предмет или два предмета на окружности дают ровно одну различную расстановку.
Зачем нужна научная нотация? В 99! около 156 цифр, поэтому полные числа становятся нечитаемыми; настройка значащих цифр влияет только на отображение и никак не меняет точное вычисление, лежащее в основе.
Считаются ли отражения одинаковыми? Нет. Этот инструмент вычисляет \((n - 1)!\). Если отождествлять отражения, результат уменьшится вдвое — до \((n - 1)! / 2\).
