Что такое сегмент круга?
Сегмент круга — это область в форме «лепестка» или «дуги лука», ограниченная прямой хордой и отсекаемой ею дугой окружности. Его задают две легко измеримые величины: длина хорды c (прямое основание) и высота h, которую также называют стрелкой сегмента, — это наибольшее расстояние от середины хорды до дуги. Калькулятор принимает c и h и возвращает площадь сегмента S, центральный угол дуги (в радианах и градусах), длину дуги L и радиус r исходной окружности.
Как пользоваться
Введите длину хорды и высоту сегмента в любых согласованных единицах длины (метры, дюймы, пиксели — что вам удобнее). Все линейные результаты (L и r) выводятся в тех же единицах, площадь S — в квадратных единицах, а углы — в радианах и градусах. Высота h должна быть больше нуля.
Разбор формул
Сначала находим радиус из соотношения для хорды \(c = 2\sqrt{h(2r - h)}\), которое приводится к стандартной формуле через стрелку: $$r = \frac{h}{2} + \frac{c^{2}}{8h}.$$ Далее центральный угол равен $$\theta = 2\cos^{-1}\!\left(1 - \frac{h}{r}\right),$$ длина дуги \(L = r\cdot\theta\), а площадь сегмента $$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\sqrt{h(2r - h)}.$$ Поскольку \(\sqrt{h(2r - h)}\) равно \(c/2\), площадь можно записать и так: $$S = \frac{\theta}{2}\cdot r^{2} - (r - h)\cdot\frac{c}{2}.$$
Пример расчёта
Пусть \(c = 1{,}2\) и \(h = 0{,}5\): \(r = 0{,}25 + 1{,}44/4 = 0{,}61\). Тогда \(1 - h/r = 0{,}180328\), значит \(\theta = 2\cdot\arccos(0{,}180328) = 2{,}778906\) рад \(= 159{,}22^\circ\). Длина дуги \(L = 0{,}61 \times 2{,}778906 = 1{,}695133\). Так как \(\sqrt{0{,}5\cdot 0{,}72} = 0{,}6\), площадь равна $$S = 1{,}389453\cdot 0{,}3721 - 0{,}11\cdot 0{,}6 = 0{,}516916 - 0{,}066 = \mathbf{0{,}450916}.$$
Частые вопросы
Что будет, если h равно r? Тогда сегмент представляет собой ровно полукруг, а \(\theta = \pi\) (180°).
Может ли h быть больше r? Да — в этом случае сегмент больше полукруга. Формула остаётся верной, пока \(h \le 2r\); при \(h = 2r\) получается полный круг (\(\theta = 2\pi\)).
Какие единицы использовать? Любые, но обязательно одни и те же. Результат просто наследует их: длина, квадрат длины и угол.
