Что такое сегмент круга?
Сегмент круга — это часть круга, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой. Представьте, что вы разрезаете круг прямой линией: меньший отсечённый кусок (между линией и дугой) и есть сегмент. Этот калькулятор находит три ключевые величины всего по двум исходным данным — радиусу и центральному углу: площадь сегмента S, длину дуги L и длину хорды c. Это чистая геометрия, поэтому формулы работают в любых единицах длины, которые вы используете.
Как пользоваться
Введите радиус \(r\) и центральный угол \(\theta\). С помощью переключателя выберите, в чём задан угол — в градусах или в радианах. Калькулятор сам переводит угол в радианы, а затем подставляет его во все формулы. Результаты выводятся с высокой точностью. Угол должен лежать в диапазоне от 0 до 360 градусов (от 0 до \(2\pi\) радиан); при полном обороте сегмент превращается в весь круг.
Разбираем формулы
Здесь \(\theta\) выражен в радианах, а \(r\) — радиус:
Площадь: $$S = \tfrac12\, r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right).$$ Это площадь сектора \(\tfrac12 r^{2}\theta\) за вычетом площади треугольника \(\tfrac12 r^{2}\sin\theta\).
Длина дуги: $$L = r\theta.$$ Обратите внимание: это именно \(r\) умножить на \(\theta\), а не \(2r\theta\).
Длина хорды: $$c = 2r\cdot\sin\!\left(\frac{\theta}{2}\right).$$ Синус всегда берётся от значения угла в радианах.
Пример расчёта
Пусть \(r = 1\) и \(\theta = 120\) градусов. Переводим: $$\theta = 120 \times \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0943951.$$ Тогда \(\sin\theta = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}8660254\). Площадь $$S = 0{,}5 \times 1 \times (2{,}0943951 - 0{,}8660254) = 0{,}6141848.$$ Длина дуги $$L = 1 \times 2{,}0943951 = 2{,}0943951.$$ Хорда $$c = 2 \times \sin(60^\circ) = 1{,}7320508 \quad (\text{то есть } \sqrt3).$$
Частые вопросы
Длина дуги равна \(2r\theta\)? Нет. Правильная формула — \(L = r\theta\), где \(\theta\) задан в радианах.
Что будет, если радиус равен нулю? Нулевой радиус вырождается в точку, поэтому все результаты равны нулю.
Может ли угол превышать 180 градусов? Да. Вплоть до 360 градусов формула даёт площадь большего сегмента; ровно при 360 градусах получается площадь всего круга \(\pi r^{2}\).
