Калькулятор площади сегмента эллипса

Введите расчет

Радиус a (полуось вдоль x)

Радиус b (полуось вдоль y)

Angle θ0 (start)

Angle θ1 (end)

Единица измерения угла Degrees Radians

Результатов

Площадь сегмента S

1,7123889804

квадратные единицы длины

Длина хорды c	3,6055512755
Длина дуги эллипса L	3,9663598973

Что вычисляет калькулятор площади сегмента эллипса

Этот универсальный геометрический инструмент работает с эллипсом, у которого полуоси равны \(a\) (вдоль оси x) и \(b\) (вдоль оси y). Вы задаёте две точки через их полярные углы \(\theta_0\) и \(\theta_1\), отсчитываемые от центра. Калькулятор возвращает площадь \(S\) сегмента эллипса, ограниченного дугой эллипса и хордой между двумя точками, длину прямой хорды \(c\) и длину дуги эллипса \(L\) между этими точками.

Эллиптический сегмент — это область между хордой и эллиптической дугой, соединяющей два угла.

Как пользоваться

Введите полуоси \(a\) и \(b\), начальный угол \(\theta_0\) и конечный угол \(\theta_1\), а затем выберите единицу измерения углов — градусы или радианы. Оба угла задаются в одной и той же единице. Здесь имеется в виду именно полярный (центральный) угол, а не параметрический (эксцентрический), поэтому точка определяется как \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\ r(\theta)\sin\theta)\), где \(r(\theta)\) — расстояние от центра до эллипса вдоль данного луча.

Формулы

Центральный радиус:

$$r(\theta) = \sqrt{\frac{a^2 b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}$$

Обозначив \(r_0 = r(\theta_0)\) и \(r_1 = r(\theta_1)\), получаем:

Хорда:

$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2 r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$

(теорема косинусов).

Площадь сегмента:

$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2}\sin(\theta_1 - \theta_0)$$

где первообразная для сектора имеет вид

$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b-a)\sin 2\theta}{(b+a)+(b-a)\cos 2\theta}\right]$$

Сектор за вычетом центрального треугольника как раз и даёт сегмент.

Длина дуги: \(L\) — это длина дуги эллипса, которая вычисляется численным интегрированием \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\,d\theta\) от \(\theta_0\) до \(\theta_1\) (составная формула Симпсона, 2000 шагов). Результат совпадает с неполным эллиптическим интегралом второго рода с точностью до отображаемых знаков.

Площадь сегмента равна площади эллиптического сектора за вычетом центрального треугольника, образованного двумя радиусами и хордой.

Разобранный пример

Пусть \(a = 3\), \(b = 2\), \(\theta_0 = 0°\), \(\theta_1 = 90°\): тогда \(r_0 = 3\), \(r_1 = 2\). Хорда

$$c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3{,}6055512755$$

Площадь сектора равна четверти эллипса

$$\frac{\pi a b}{4} = 1{,}5\pi = 4{,}7123889804$$

площадь треугольника \(= 3\), поэтому \(S = 1{,}7123889804\). Длина дуги четверти эллипса \(L = 3{,}9663598973\).

Частые вопросы

Является ли \(\theta\) параметрическим углом? Нет — это полярный угол, отсчитываемый от центра, поэтому \(r(\theta)\) равно реальному расстоянию от центра до кривой.

Что будет, если \(a = b\)? Тогда эллипс превращается в окружность: \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) и \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\).

Почему длина дуги считается численно? У длины дуги эллипса нет элементарной формулы в замкнутом виде; численное интегрирование воспроизводит её с большим числом верных знаков без подключения библиотеки специальных функций.