椭圆弓形面积计算器能做什么
这款通用几何工具适用于半轴为 a（沿 x 轴）和 b（沿 y 轴）的椭圆。你只需从椭圆中心出发，用两个极角 theta0 和 theta1 来指定两个点的方向。计算器会返回三项结果：由椭圆弧和两点之间的弦所围成的弓形面积 S、两点之间的直线弦长 c，以及两点之间的椭圆弧长 L。
使用方法
依次填入半轴 a 和 b、起始角 theta0 与终止角 theta1，并选择角度的单位是度还是弧度。两个角度必须使用同一种单位。这里所说的角是极角（即从中心出发的方向角），并不是参数角（离心角），因此每个点的坐标为 P(theta) = (r(theta)cos theta, r(theta)sin theta)，其中 r(theta) 是沿该射线方向从中心到椭圆边界的距离。
计算公式
中心向径：r(theta) = sqrt(a^2 b^2 / (b^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta))。设 r0 = r(theta0)，r1 = r(theta1)：
弦长：c = sqrt(r0^2 + r1^2 - 2 r0 r1 cos(theta1 - theta0))（余弦定理）。
弓形面积：S = F(theta1) - F(theta0) - (r0 r1 / 2) sin(theta1 - theta0)，其中扇形原函数为 F(theta) = (a b / 2)[theta - atan(((b - a) sin 2theta)/(b + a + (b - a) cos 2theta))]。从扇形中减去中心三角形，剩下的就是弓形。
弧长：L 是椭圆弧的长度，通过对 ds = sqrt(r^2 + (dr/dtheta)^2) dtheta 从 theta0 到 theta1 进行数值积分得到（复合辛普森法，2000 步），其精度在显示位数上与第二类不完全椭圆积分一致。
计算示例
取 a = 3，b = 2，theta0 = 0 度，theta1 = 90 度：此时 r0 = 3，r1 = 2。弦长 c = sqrt(9 + 4 - 0) = sqrt(13) = 3.6055512755。扇形面积即四分之一椭圆面积 = pi*a*b/4 = 1.5pi = 4.7123889804，三角形面积为 3，所以 S = 1.7123889804。四分之一椭圆的弧长 L = 3.9663598973。
常见问题
theta 是参数角吗？不是——它是从中心量起的极角，因此 r(theta) 表示的是从中心到曲线的真实距离。
如果 a = b 会怎样？这时椭圆退化为圆：L = a|theta1 - theta0|，S = (a^2/2)(|theta1 - theta0| - sin|theta1 - theta0|)。
为什么弧长要用数值方法计算？椭圆弧长没有初等函数的封闭表达式；采用数值积分无需借助特殊函数库，就能精确到多位小数。
