ما الذي تقوم به حاسبة مساحة القطعة الإهليلجية
هذه أداة هندسية شاملة تعمل على قطع ناقص بنصفي محورين هما \(a\) (على محور السينات \(x\)) و \(b\) (على محور الصادات \(y\)). تختار نقطتين بإعطاء زاويتيهما القطبيتين \(\theta_0\) و \(\theta_1\)، المقيستين من المركز. تُرجع الحاسبة مساحة القطعة الإهليلجية \(S\) المحصورة بين القوس الإهليلجي والوتر الواصل بين النقطتين، وطول الوتر المستقيم \(c\)، وطول القوس الإهليلجي \(L\) بين النقطتين.
طريقة الاستخدام
أدخل نصفي المحورين \(a\) و \(b\)، وزاوية البداية \(\theta_0\) وزاوية النهاية \(\theta_1\)، ثم اختر ما إذا كانت الزوايا بالدرجات أم بالراديان. تستخدم كلتا الزاويتين الوحدة نفسها. الزاوية هنا هي الاتجاه القطبي (المركزي)، وليست الزاوية الوسيطية/اللامركزية، لذا تقع النقطة عند \(P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta,\ r(\theta)\sin\theta)\)، حيث \(r(\theta)\) هي المسافة من المركز إلى القطع الناقص على امتداد ذلك الشعاع.
الصيغ الرياضية
نصف القطر المركزي:
$$r(\theta) = \sqrt{\frac{a^2 b^2}{b^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta}}$$وبفرض \(r_0 = r(\theta_0)\) و \(r_1 = r(\theta_1)\):
الوتر:
$$c = \sqrt{r_0^2 + r_1^2 - 2 r_0 r_1 \cos(\theta_1 - \theta_0)}$$(قانون جيب التمام).
مساحة القطعة:
$$S = F(\theta_1) - F(\theta_0) - \frac{r_0 r_1}{2}\sin(\theta_1 - \theta_0)$$حيث الدالة الأصلية للقطاع هي
$$F(\theta) = \frac{ab}{2}\left[\theta - \arctan\frac{(b-a)\sin 2\theta}{(b+a) + (b-a)\cos 2\theta}\right]$$وبطرح المثلث المركزي من القطاع تبقى القطعة المطلوبة.
طول القوس: \(L\) هو طول القوس الإهليلجي، ويُحسب بالتكامل العددي لـ \(ds = \sqrt{r^2 + (dr/d\theta)^2}\, d\theta\) من \(\theta_0\) إلى \(\theta_1\) (طريقة سيمبسون المركّبة بـ 2000 خطوة)، وهو يطابق التكامل الإهليلجي الناقص من النوع الثاني حتى دقة العرض.
مثال محلول
لقطع ناقص بـ \(a = 3\) و \(b = 2\) و \(\theta_0 = 0\) درجة و \(\theta_1 = 90\) درجة: نحصل على \(r_0 = 3\) و \(r_1 = 2\). الوتر \(c = \sqrt{9 + 4 - 0} = \sqrt{13} = 3.6055512755\). مساحة القطاع = ربع القطع الناقص = \(\frac{\pi a b}{4} = 1.5\pi = 4.7123889804\)، والمثلث = \(3\)، إذن \(S = 1.7123889804\). أما طول قوس ربع القطع الناقص فهو \(L = 3.9663598973\).
الأسئلة الشائعة
هل \(\theta\) هي الزاوية الوسيطية؟ لا — إنها الزاوية القطبية من المركز، لذا فإن \(r(\theta)\) هي المسافة الفعلية من المركز إلى المنحنى.
ماذا لو كان \(a = b\)؟ يصبح القطع الناقص دائرة: \(L = a|\theta_1 - \theta_0|\) و \(S = \frac{a^2}{2}(|\theta_1 - \theta_0| - \sin|\theta_1 - \theta_0|)\).
لماذا يُحسب طول القوس عدديًا؟ لأن طول القوس الإهليلجي ليس له صيغة مغلقة أولية؛ ويعيد التكامل العددي إنتاجه بدقة تصل إلى عدة منازل عشرية دون الحاجة إلى مكتبة دوال خاصة.
