ما هي القطعة الدائرية؟
القطعة الدائرية هي الجزء من الدائرة الذي "يقتطعه" خط مستقيم يُعرف بالوتر. وبعبارة أخرى، هي المساحة المحصورة بين الوتر والقوس الذي يقابله. تحسب هذه الأداة تلك المساحة انطلاقًا من نصف قطر الدائرة والزاوية المركزية التي يقابلها الوتر، كما تعطيك طول القوس وطول الوتر وارتفاع القطعة (السهم) الذي يمثل أقصى ارتفاع لها.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل نصف القطر r للدائرة والزاوية المركزية θ، ثم اختر ما إذا كانت زاويتك مقاسة بالدرجات أم بالراديان. تقوم الحاسبة بتحويل الدرجات إلى راديان تلقائيًا قبل تطبيق المعادلة. اضغط على زر الحساب لتظهر لك مساحة القطعة إلى جانب طول القوس وطول الوتر وارتفاع القطعة.
شرح المعادلة
تُعطى مساحة القطعة الدائرية بالعلاقة التالية:
$$A = \frac{1}{2}\,r^{2}\left(\theta - \sin\theta\right)$$يجب أن تكون θ هنا مقاسة بالراديان. الحد \(\frac{1}{2}\cdot r^{2}\cdot\theta\) يمثل مساحة القطاع الدائري (شريحة "الفطيرة")، بينما \(\frac{1}{2}\cdot r^{2}\cdot\sin\theta\) يمثل مساحة المثلث المتكوّن من نصفي القطرين والوتر. وبطرح المثلث من القطاع يتبقى لدينا مساحة القطعة وحدها. ولتحويل الدرجات إلى راديان، اضرب القيمة في \(\frac{\pi}{180}\).
مثال محلول
لنفترض أن \(r = 5\) وأن \(\theta = 90°\). نحوّل الزاوية: \(\theta = 90 \times \frac{\pi}{180} = 1.570796\) راديان. عندها يكون \(\sin\theta = \sin(90°) = 1\). ومن ثمّ: $$A = 0.5 \times 25 \times (1.570796 - 1) = 0.5 \times 25 \times 0.570796 = 7.13495 \text{ وحدة مربعة}$$ أما طول الوتر فهو \(2 \times 5 \times \sin(45°) \approx 7.0711\)، وارتفاع القطعة (السهم) فهو \(5 \times (1 - \cos 45°) \approx 1.4645\).
الأسئلة الشائعة
هل الزاوية هي نفسها القوس؟ لا. الزاوية المركزية θ تُقاس عند مركز الدائرة بين نصفي القطرين الواصلين إلى طرفي الوتر، بينما طول القوس يساوي \(r\cdot\theta\) (حيث θ بالراديان).
ماذا لو كانت زاويتي أكبر من 180°؟ تبقى المعادلة صالحة لقيم θ حتى 360° (أي \(2\pi\))، وتعطيك في هذه الحالة مساحة القطعة "الكبرى" عندما تكون θ أكبر من 180°.
ما الوحدات التي تظهر بها النتيجة؟ تُقاس المساحة بالوحدة المربعة لأي وحدة استخدمتها لنصف القطر؛ فإذا كان r بالسنتيمتر، فإن المساحة تكون بالسنتيمتر المربع (سم²).
