ما هي حاسبة شكل النجمة؟
المضلع النجمي (مثل النجمة الخماسية المألوفة، أو النجمة السداسية المعروفة بنجمة داود، وغيرها) يتكوّن من n من الرؤوس الخارجية الواقعة على دائرة كبيرة نصف قطرها R، ومن n من الرؤوس الداخلية الواقعة على دائرة صغيرة نصف قطرها r. تحسب هذه الأداة المساحة المحصورة، وطول كل ضلع، والمحيط الكلي لهذه النجمة انطلاقًا من ثلاثة مدخلات فقط.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد الرؤوس n (3 أو أكثر)، ونصف القطر الخارجي R (من المركز إلى طرف الرأس)، ونصف القطر الداخلي r (من المركز إلى نقطة التقعّر بين رأسين). تعرض الحاسبة فورًا المساحة بالوحدات المربعة، وطول الضلع المائل الواحد، والمحيط (فالنجمة تضمّ 2n من الأضلاع).
شرح المعادلة
يمكن تقسيم النجمة إلى 2n من المثلثات المتطابقة، يمتدّ كلٌّ منها بزاوية نصفية مقدارها \(\frac{\pi}{n}\) وضلعاه \(R\) و \(r\). مساحة كل مثلث منها تساوي \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)\)، وعددها \(2n\)، ما يعطينا النتيجة المختصرة التالية:
$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$
أما الضلع الذي يصل بين رأس خارجي على نصف القطر \(R\) والرأس الداخلي المجاور على نصف القطر \(r\) (بإزاحة زاوية \(\frac{\pi}{n}\)) فطوله $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ ويكون المحيط \(2n\cdot e\).
مثال محلول
لنأخذ نجمة خماسية كلاسيكية حيث \(R = 10\) و \(r = 5\): المساحة $$= 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0.587785 \approx 146.95$$ وحدة مربعة. وطول الضلع $$= \sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4.0451)^{2} + (2.9389)^{2}} \approx \sqrt{35.46 + 8.64} \approx 6.6408$$ ومن ثمّ يكون المحيط \(10 \cdot 6.6408 \approx 66.41\).
الأسئلة الشائعة
هل تعمل الأداة مع أي عدد من الرؤوس؟ نعم — أدخل أي قيمة \(n \geq 3\). فمع \(n = 3\) تحصل على نجمة ثلاثية الرؤوس.
ماذا لو تساوى R و r؟ يتحوّل الشكل عندئذٍ إلى مضلع منتظم ذي \(2n\) من الأضلاع (دون تقعّرات)، وتبقى معادلة المساحة صحيحة.
ما الوحدات المستخدمة؟ أي وحدة متّسقة. فإذا كان \(R\) و \(r\) بالسنتيمتر، تكون المساحة بالسنتيمتر المربع والمحيط بالسنتيمتر.
