Калькулятор звезды

Введите расчет

Число лучей (n)

Внешний радиус (R)

Внутренний радиус (r)

Математическая формула

Show calculation steps (1)

1. Star Perimeter

   

   Perimeter sums all 2n edges; each edge runs from an outer point to an adjacent inner vertex.

Результатов

Площадь звезды

146,95

квадратных единиц

Число лучей	5
Длина стороны	6,6407
Периметр	66,41

Что такое калькулятор звезды?

Звёздчатый многоугольник (привычная пятиконечная звезда, шестиконечная звезда Давида и так далее) строится из n внешних вершин-лучей, лежащих на большой окружности радиусом R, и n внутренних вершин, лежащих на малой окружности радиусом r. Этот калькулятор по трём исходным значениям находит площадь такой фигуры, длину каждой её стороны и общий периметр.

Как пользоваться

Введите число лучей n (3 или больше), внешний радиус R (от центра до кончика луча) и внутренний радиус r (от центра до впадины между двумя лучами). Калькулятор мгновенно покажет площадь в квадратных единицах, длину одной наклонной стороны и периметр (у звезды \(2n\) сторон).

Разбираем формулу

Звезду можно разрезать на \(2n\) одинаковых треугольников, каждый из которых охватывает половинный угол \(\pi/n\) и имеет стороны \(R\) и \(r\). Площадь одного такого треугольника равна \(\tfrac{1}{2}\cdot R\cdot r\cdot\sin(\pi/n)\), а всего их \(2n\), поэтому получается компактная формула:

$$A = n \cdot r \cdot R \cdot \sin\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$

Сторона, соединяющая внешний луч на радиусе \(R\) с соседней внутренней вершиной на радиусе \(r\) (со смещением на угол \(\pi/n\)), имеет длину $$e = \sqrt{\left(R - r\cos\tfrac{\pi}{n}\right)^{2} + \left(r\sin\tfrac{\pi}{n}\right)^{2}}$$ а периметр равен \(2n\cdot e\).

Площадь звезды равна \(2n\) конгруэнтным треугольникам и упрощается до \(A = n\cdot r\cdot R\cdot\sin(\pi/n)\).

Звёздчатый многоугольник, заданный внешним радиусом \(R\) (до вершин) и внутренним радиусом \(r\) (до внутренних впадин), с \(n\) лучами.

Пример расчёта

Для классической пятиконечной звезды с \(R = 10\) и \(r = 5\): $$A = 5 \cdot 5 \cdot 10 \cdot \sin(36°) = 250 \cdot 0{,}587785 \approx 146{,}95$$ квадратных единиц. Длина стороны равна $$\sqrt{(10 - 5\cdot\cos 36°)^{2} + (5\cdot\sin 36°)^{2}} = \sqrt{(10 - 4{,}0451)^{2} + (2{,}9389)^{2}} \approx \sqrt{35{,}46 + 8{,}64} \approx 6{,}6408$$ поэтому периметр составляет \(10 \cdot 6{,}6408 \approx 66{,}41\).

Частые вопросы

Подходит ли калькулятор для любого числа лучей? Да — введите любое \(n \ge 3\). При \(n = 3\) получится трёхконечная звезда.

Что будет, если R и r равны? Фигура превращается в правильный \(2n\)-угольник (без вогнутых впадин), и формула площади по-прежнему работает.

В каких единицах ведётся расчёт? В любых, лишь бы они были согласованы. Если \(R\) и \(r\) заданы в сантиметрах, то площадь получится в квадратных сантиметрах, а периметр — в сантиметрах.