Что такое описанная окружность?
Описанная окружность — это единственная окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Её центр называют центром описанной окружности: эта точка равноудалена от каждой вершины, а её радиус обозначают буквой R и называют радиусом описанной окружности. У любого треугольника есть ровно одна описанная окружность, поэтому это понятие лежит в основе геометрии, тригонометрии и инженерных расчётов при разметке.
Как пользоваться калькулятором
Введите длины трёх сторон треугольника — a, b и c — в любых одинаковых единицах (см, м, дюймы и т. д.). Сначала калькулятор находит площадь треугольника по формуле Герона, а затем выдаёт радиус описанной окружности вместе с её диаметром, длиной и площадью круга. Убедитесь, что три стороны действительно образуют треугольник: каждая сторона должна быть меньше суммы двух других.
Разбор формулы
Радиус описанной окружности находят по формуле \(R = \dfrac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}\). Чтобы вычислить площадь, не зная высоты, применяют формулу Герона. Сначала находят полупериметр \(s = \dfrac{a + b + c}{2}\), а затем \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Подставив эту площадь в первое уравнение, получаем радиус:
$$R = \frac{abc}{4\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$Диаметр равен \(2R\), длина окружности — \(2\pi R\), а площадь круга — \(\pi R^2\).
Пример расчёта
Возьмём прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5. Полупериметр равен $$s = \frac{3+4+5}{2} = 6.$$ По формуле Герона $$S = \sqrt{6\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = \sqrt{36} = 6.$$ Тогда $$R = \frac{3\cdot 4\cdot 5}{4\cdot 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5.$$ Это совпадает с известным правилом: у прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы \(\left(\dfrac{5}{2} = 2{,}5\right)\).
Частые вопросы
У любого ли треугольника есть описанная окружность? Да. Любые три точки, не лежащие на одной прямой, задают ровно одну окружность, поэтому у каждого допустимого треугольника есть описанная окружность.
Где находится центр описанной окружности у прямоугольного треугольника? Он лежит в середине гипотенузы — именно поэтому R равен половине гипотенузы.
Что делать, если стороны не образуют треугольник? Если площадь получается нулевой или не определена, длины сторон нарушают неравенство треугольника, и реальной окружности не существует.
