Что считает этот калькулятор
Этот инструмент вычисляет длину стороны и площадь правильных многоугольников, описанных около окружности заданного радиуса \(r\). «Описанный около окружности» означает, что многоугольник построен вокруг окружности так, что каждая его сторона лишь касается окружности (является касательной к ней). В результате окружность оказывается вписанной в многоугольник, а \(r\) становится апофемой (радиусом вписанной окружности) для каждого такого многоугольника — то есть перпендикулярным расстоянием от центра до середины любой стороны. Калькулятор строит таблицу по диапазону числа сторон \(n\) и сравнивает площадь каждого многоугольника с площадью круга.
Как пользоваться
Введите радиус окружности \(r\) (любое положительное число в выбранной единице длины), затем задайте наименьшее число сторон (nMin, не меньше 3) и наибольшее (nMax). Калькулятор создаёт по одной строке для каждого целого \(n\) от nMin до nMax, указывая длину стороны \(a\) и площадь многоугольника \(S_p\), а над таблицей выводит площадь круга \(S_c\). Таблица ограничена 200 строками.
Разбор формул
Каждая сторона многоугольника опирается на центральный угол \(2\pi/n\). Если разделить сторону в точке касания, получится прямоугольный треугольник с противолежащим катетом \(a/2\) и прилежащим катетом \(r\), поэтому \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\), откуда $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$. Многоугольник разбивается на \(n\) треугольников с основанием \(a\) и высотой \(r\), так что $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$. Площадь вписанной окружности равна $$S_c = \pi r^2$$. Поскольку каждый описанный многоугольник охватывает окружность, \(S_p\) всегда больше \(S_c\), а с ростом \(n\) значение \(S_p\) уменьшается, приближаясь к \(S_c\).
Пример расчёта
Для \(r = 1\) и шестиугольника (\(n = 6\)): $$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}57735 = 1{,}15470.$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0{,}57735 = 3{,}46410.$$ Площадь круга составляет \(S_c = \pi \approx 3{,}14159\) — это подтверждает, что площадь многоугольника превышает площадь круга.
Частые вопросы
\(r\) — это сторона или апофема? Здесь \(r\) — это апофема (радиус вписанной окружности). Многоугольник охватывает окружность, поэтому радиус окружности равен перпендикулярному расстоянию до каждой стороны.
Почему площадь многоугольника больше площади круга? Описанный многоугольник всегда содержит окружность внутри себя, поэтому его площадь больше; обе величины сближаются по мере увеличения числа сторон.
Какие единицы измерения используются? \(r\) задаётся в произвольной единице длины. Длины сторон выражены в той же единице, а площади — в её квадрате. Никакого преобразования единиц не выполняется.
