ماذا تفعل هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة طول الضلع ومساحة المضلعات المنتظمة المحيطة بدائرة نصف قطرها \(r\) معطى. ويعني تعبير "المحيط بدائرة" أن المضلع يُرسم حول الدائرة بحيث يلامس كل ضلع منه الدائرة (يكون مماسًا لها) من نقطة واحدة. ونتيجة لذلك تكون الدائرة محاطة داخل المضلع، ويمثّل \(r\) عمود المضلع (نصف قطر الدائرة الداخلية) لكل المضلعات، أي المسافة العمودية من مركز المضلع إلى منتصف أي ضلع. وتنشئ الحاسبة جدولًا يغطي نطاقًا من عدد الأضلاع \(n\)، وتقارن مساحة كل مضلع بمساحة الدائرة.
طريقة الاستخدام
أدخل نصف قطر الدائرة \(r\) (أي عدد موجب بوحدة الطول التي تختارها)، ثم حدّد أقل عدد للأضلاع (nMin، ولا يقل عن 3) وأكبر عدد (nMax). تنشئ الحاسبة صفًّا لكل عدد صحيح \(n\) من nMin إلى nMax، يعرض طول الضلع \(a\) ومساحة المضلع \(S_p\)، وتعرض مساحة الدائرة \(S_c\) أعلى الجدول. والحد الأقصى لعدد الصفوف هو 200 صف.
شرح المعادلات
يقابل كل ضلع من المضلع زاوية مركزية مقدارها \(2\pi/n\). وعند تقسيم الضلع عند نقطة التماس نحصل على مثلث قائم الزاوية ضلعه المقابل \(a/2\) والمجاور \(r\)، أي أن \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\)، ومنها نحصل على $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ ويتحلل المضلع إلى \(n\) من المثلثات، قاعدة كل منها \(a\) وارتفاعه \(r\)، ومن ثم $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ أما مساحة الدائرة الداخلية فهي $$S_c = \pi r^2$$ وبما أن كل مضلع محيط يحتوي الدائرة، فإن \(S_p\) تكون دائمًا أكبر من \(S_c\)، وكلما زاد \(n\) تناقصت \(S_p\) مقتربةً من \(S_c\).
مثال محلول
لنأخذ \(r = 1\) ومضلعًا سداسيًا (\(n = 6\)): $$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ وتكون $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ ومساحة الدائرة هي \(S_c = \pi \approx 3.14159\) — وهذا يؤكّد أن مساحة المضلع تتجاوز مساحة الدائرة.
الأسئلة الشائعة
هل \(r\) هو الضلع أم عمود المضلع؟ هنا يمثّل \(r\) عمود المضلع (نصف قطر الدائرة الداخلية). فالمضلع يلتف حول الدائرة، ومن ثم يساوي نصف قطر الدائرة المسافة العمودية إلى كل ضلع.
لماذا تكون مساحة المضلع أكبر من مساحة الدائرة؟ لأن المضلع المحيط يحتوي الدائرة دائمًا، فتكون مساحته أكبر؛ وتتقارب المساحتان كلما زاد عدد الأضلاع.
ما الوحدات المستخدمة؟ \(r\) وحدة طول عامة. وتُقاس أطوال الأضلاع بالوحدة نفسها، بينما تُقاس المساحات بمربع تلك الوحدة. ولا يُطبَّق أي تحويل للوحدات.
