这个计算器能做什么
本工具用于计算外切于给定半径 \(r\) 的圆的正多边形的边长和面积。所谓"圆的外切多边形"，是指多边形画在圆的外侧，每一条边都恰好与圆相切（只接触一个点）。因此，这个圆是多边形的内切圆，而 \(r\) 就是每个多边形的边心距（内切圆半径）——即从多边形中心到任意一条边中点的垂直距离。计算器会在你设定的边数范围内逐一生成结果表格，并将每个多边形的面积与圆面积进行对比。
使用方法
输入圆的半径 \(r\)（可填任意正数，单位由你自行选定），然后设定最小边数（nMin，不少于 3）和最大边数（nMax）。计算器会为从 nMin 到 nMax 的每个整数 \(n\) 生成一行结果，列出对应的边长 \(a\) 和多边形面积 \(S_p\)，并在表格上方显示圆的面积 \(S_c\)。表格最多显示 200 行。
公式详解
多边形的每条边对应的圆心角为 \(2\pi/n\)。从边与圆的切点处将这条边一分为二，可得到一个直角三角形：对边为 \(a/2\)，邻边为 \(r\)，于是 \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\)，即 $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ 整个多边形可分解为 \(n\) 个三角形，每个三角形以 \(a\) 为底、\(r\) 为高，因此 $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ 内切圆的面积为 $$S_c = \pi r^2$$ 由于每个外切多边形都把圆包在内部，所以 \(S_p\) 始终大于 \(S_c\)；随着 \(n\) 不断增大，\(S_p\) 会逐渐趋近于 \(S_c\)。
实例演算
以 \(r = 1\)、正六边形（\(n = 6\)）为例：$$a = 2\cdot\tan(\pi/6) = 2\cdot 0.57735 = 1.15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0.57735 = 3.46410$$ 圆的面积为 \(S_c = \pi \approx 3.14159\)——可见多边形面积确实大于圆面积。
常见问题
\(r\) 指的是边长还是边心距？这里的 \(r\) 是边心距（内切圆半径）。多边形包在圆的外侧，因此圆的半径正好等于到每条边的垂直距离。
为什么多边形面积比圆面积大？外切多边形总是把圆包含在内，所以面积更大；当边数越来越多时，两者会逐渐趋于一致。
使用什么单位？\(r\) 采用通用的长度单位。边长沿用相同单位，面积则为该单位的平方。计算过程中不做任何单位换算。
