Qué hace esta calculadora
Esta herramienta calcula la longitud del lado y el área de los polígonos regulares que están circunscritos a una circunferencia de radio \(r\) determinado. "Circunscrito a una circunferencia" significa que el polígono se dibuja rodeando al círculo de modo que cada lado lo roza justo en un punto (es tangente a la circunferencia). En consecuencia, la circunferencia queda inscrita en el polígono y \(r\) es la apotema (radio interior) de cada polígono: la distancia perpendicular desde el centro del polígono hasta el punto medio de cualquier lado. La calculadora construye una tabla para un rango de números de lados \(n\) y compara el área de cada polígono con el área del círculo.
Cómo usarla
Introduce el radio de la circunferencia \(r\) (cualquier número positivo en la unidad de longitud que elijas), elige después el número mínimo de lados (nMin, al menos 3) y el máximo (nMax). La calculadora genera una fila por cada entero \(n\) desde nMin hasta nMax, indicando la longitud del lado \(a\) y el área del polígono \(S_p\), y muestra el área del círculo \(S_c\) encima de la tabla. La tabla está limitada a 200 filas.
Las fórmulas explicadas
Cada lado del polígono abarca un ángulo central de \(2\pi/n\). Si dividimos un lado por su punto de tangencia, obtenemos un triángulo rectángulo con cateto opuesto \(a/2\) y cateto adyacente \(r\), de modo que \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\), lo que da $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ El polígono se descompone en \(n\) triángulos, cada uno con base \(a\) y altura \(r\), así que $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ La circunferencia inscrita tiene un área de $$S_c = \pi r^2$$ Como cada polígono circunscrito encierra a la circunferencia, \(S_p\) siempre es mayor que \(S_c\), y a medida que \(n\) crece, \(S_p\) disminuye acercándose a \(S_c\).
Ejemplo resuelto
Para \(r = 1\) y un hexágono (\(n = 6\)): $$a = 2\cdot\tan(\pi/6) = 2\cdot 0{,}57735 = 1{,}15470$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0{,}57735 = 3{,}46410$$ El área del círculo es \(S_c = \pi \approx 3{,}14159\), lo que confirma que el área del polígono supera la del círculo.
Preguntas frecuentes
¿\(r\) es el lado o la apotema? Aquí \(r\) es la apotema (radio interior). El polígono envuelve a la circunferencia, por lo que el radio del círculo coincide con la distancia perpendicular a cada lado.
¿Por qué el área del polígono es mayor que la del círculo? Un polígono circunscrito siempre contiene a la circunferencia, así que su área es mayor; ambas convergen a medida que aumenta el número de lados.
¿Qué unidades se usan? \(r\) es una unidad de longitud genérica. Las longitudes de los lados comparten esa unidad; las áreas se expresan en esa unidad al cuadrado. No se aplica ninguna conversión de unidades.
