Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, belirli bir \(r\) yarıçaplı çembere çevrel çizilmiş düzgün çokgenlerin kenar uzunluğunu ve alanını hesaplar. "Çembere çevrel çizilmiş" ifadesi, çokgenin çemberin etrafına, her kenarı çembere tam olarak teğet olacak şekilde çizildiği anlamına gelir. Bunun sonucunda çember çokgenin içine çizilmiş olur ve \(r\), her çokgenin apoteminin (iç yarıçap) uzunluğudur — yani çokgenin merkezinden herhangi bir kenarın orta noktasına inen dik uzaklıktır. Araç, \(n\) kenar sayısına göre bir tablo oluşturur ve her çokgenin alanını çemberin alanıyla karşılaştırır.
Nasıl kullanılır?
Çember yarıçapı \(r\) değerini girin (seçtiğiniz uzunluk biriminde herhangi bir pozitif sayı), ardından en küçük kenar sayısını (nMin, en az 3) ve en büyük kenar sayısını (nMax) belirleyin. Hesaplayıcı, nMin'den nMax'a kadar her tam sayı \(n\) için bir satır oluşturur; her satırda kenar uzunluğu \(a\) ve çokgen alanı \(S_p\) yer alır, çember alanı \(S_c\) ise tablonun üstünde gösterilir. Tablo en fazla 200 satır içerir.
Formüllerin açıklaması
Çokgenin her kenarı, merkezde \(2\pi/n\) büyüklüğünde bir merkez açı görür. Bir kenarı teğet noktasından ikiye ayırdığımızda, karşı kenarı \(a/2\) ve komşu kenarı \(r\) olan bir dik üçgen elde ederiz; buradan \(a/2 = r\cdot\tan(\pi/n)\) ve dolayısıyla $$a = 2r\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ bulunur. Çokgen, her biri tabanı \(a\) ve yüksekliği \(r\) olan \(n\) adet üçgene ayrılır; bu nedenle $$S_p = \tfrac{1}{2}\,n\,a\,r = n\,r^2\tan\!\left(\frac{\pi}{n}\right)$$ olur. İç teğet çemberin alanı ise $$S_c = \pi r^2$$ şeklindedir. Çevrel çizilen her çokgen çemberi içine aldığından \(S_p\) her zaman \(S_c\)'den büyüktür; \(n\) arttıkça \(S_p\) giderek \(S_c\)'ye yaklaşır.
Çözümlü örnek
\(r = 1\) ve bir altıgen (\(n = 6\)) için: $$a = 2\cdot\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2\cdot 0{,}57735 = 1{,}15470.$$ $$S_p = 6\cdot 1\cdot 0{,}57735 = 3{,}46410.$$ Çember alanı ise \(S_c = \pi \approx 3{,}14159\)'dur — bu da çokgen alanının çember alanından büyük olduğunu doğrular.
Sıkça Sorulan Sorular
r kenar mı yoksa apotem mi? Burada \(r\) apotemdir (iç yarıçap). Çokgen çemberin etrafını sardığından, çember yarıçapı her kenara olan dik uzaklığa eşittir.
Çokgen alanı neden çember alanından büyük? Çevrel çizilen bir çokgen her zaman çemberi içine alır; bu yüzden alanı daha büyüktür. Kenar sayısı arttıkça iki alan birbirine yaklaşır.
Hangi birimler kullanılıyor? \(r\) genel bir uzunluk birimidir. Kenar uzunlukları aynı birimi, alanlar ise bu birimin karesini kullanır. Herhangi bir birim dönüşümü uygulanmaz.
