Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, düzgün bir çokgenin kenar uzunluğunu alır ve içine çizilen teğet çemberi (iç çember) hesaplayarak iç yarıçapı, iç çember alanını ve çokgen alanını verir. Size tek bir sonuç sunmak yerine, kenar sayısı n'i bir başlangıç değerinden bir bitiş değerine kadar tarayan bir tablo oluşturur; böylece üçgeni, kareyi, beşgeni, altıgeni ve ötesini yan yana karşılaştırabilirsiniz. Tüm hesaplamalar saf geometriye dayanır ve tutarlı herhangi bir uzunluk biriminde her yerde geçerlidir.
Nasıl kullanılır?
Kenar uzunluğu \(a\) değerini (pozitif herhangi bir sayı) girin, ardından kenar sayısı aralığını belirleyin: "Düzgün çokgen n (başlangıç)" ve "Düzgün çokgen n (bitiş)". Bir çokgenin en az üç kenarı olması gerektiğinden \(n\) değeri 3'ten başlar. Tablo, her tam sayı \(n\) için bir satır üretir ve en fazla 200 satıra kadar çıkar. Tek bir sonuç almak isterseniz "başlangıç" ve "bitiş" değerlerini aynı sayıya ayarlamanız yeterlidir.
Formülün açıklaması
İç teğet çember (içine çizilen çember de denir) her kenarın orta noktasına değer ve yarıçapı çokgenin apotemine eşittir. Açılar radyan cinsinden ölçüldüğünde, uzunluğu \(a\) olan \(n\) kenar için iç yarıçap $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ olur. İç çember alanı standart çember formülünden gelir: $$S_c = \pi r^2.$$ Çokgen alanı ise çevrenin yarısı ile apotemin çarpımına eşittir ve şu şekilde sadeleşir: $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}.$$ \(n \ge 3\) için \(0 < \pi/n < \pi/2\) olduğundan, \(\tan(\pi/n)\) her zaman pozitiftir; dolayısıyla hiçbir zaman sıfıra bölme durumu oluşmaz.
Örnek hesaplama
Birim bir altıgen için \(a = 1\) ve \(n = 6\) alalım. Burada \(\pi/6 = 0.5235988\) rad ve \(\tan(\pi/6) = 0.5773503\)'tür. İç yarıçap $$r = \frac{1}{2 \times 0.5773503} = 0.8660254$$ olur. İç çember alanı $$S_c = \pi \times 0.8660254^2 = \pi \times 0.75 = 2.3561945$$ 'tir. Çokgen alanı ise $$S_p = \frac{6}{4 \times 0.5773503} = 2.5980762$$ olur ki bu da bilinen altıgen alanı \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\) ile birebir uyuşur.
Sıkça sorulan sorular
İç teğet çember ile çevrel çember arasındaki fark nedir? İç teğet çember çokgenin içinde yer alır ve her kenara orta noktasından değer; çevrel çember ise köşelerden geçer. Bu araç iç teğet çemberi hesaplar.
Çokgen alanı n arttıkça neden büyüyor? Kenar uzunluğu \(a\) sabit tutulduğundan, daha büyük \(n\) daha geniş bir şekil anlamına gelir; bu yüzden her iki alan da artar. Çokgen alanı biçim olarak iç çember alanına yaklaşır, ancak ikisi de büyümeye devam eder.
Hangi birimler kullanılıyor? \(a\) için hangi uzunluk birimini girerseniz o kullanılır. Uzunluklar o birimde, alanlar ise o birimin karesi cinsinden çıkar.
