Что считает этот калькулятор
Инструмент берёт длину стороны правильного многоугольника и находит его вписанную окружность (инкруг): радиус, площадь самой окружности и площадь многоугольника. Вместо одного ответа он строит таблицу, перебирая число сторон \(n\) от начального до конечного значения, — так можно сразу сравнить треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник и так далее. В основе лежит чистая геометрия, и формулы работают везде, в любой согласованной единице длины.
Как пользоваться
Введите длину стороны \(a\) (любое положительное число), затем задайте диапазон числа сторон: «Число сторон \(n\) (от)» и «Число сторон \(n\) (до)». Поскольку у многоугольника не может быть меньше трёх сторон, отсчёт \(n\) начинается с 3. Таблица выдаёт по одной строке для каждого целого \(n\), но не более 200 строк. Чтобы получить единственный результат, укажите одинаковые значения «от» и «до».
Разбор формулы
Вписанная окружность касается середины каждой стороны, а её радиус равен апофеме многоугольника. Если углы измерять в радианах, а число сторон длиной \(a\) равно \(n\), то радиус вписанной окружности равен $$r = \frac{a}{2\tan(\pi/n)}$$ Площадь окружности находится по обычной формуле $$S_c = \pi r^2$$ Площадь многоугольника равна половине периметра, умноженной на апофему, что упрощается до $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}$$ Так как при \(n \ge 3\) выполняется \(0 < \pi/n < \pi/2\), значение \(\tan(\pi/n)\) всегда положительно — деления на ноль не возникает.
Пример расчёта
Возьмём единичный шестиугольник: \(a = 1\) и \(n = 6\). Здесь \(\pi/6 = 0{,}5235988\) рад, а \(\tan(\pi/6) = 0{,}5773503\). Радиус вписанной окружности: $$r = \frac{1}{2 \times 0{,}5773503} = 0{,}8660254$$ Площадь окружности: $$S_c = \pi \times 0{,}8660254^2 = \pi \times 0{,}75 = 2{,}3561945$$ Площадь многоугольника: $$S_p = \frac{6}{4 \times 0{,}5773503} = 2{,}5980762$$ что совпадает с известным значением площади шестиугольника \(\frac{3\sqrt{3}}{2}\).
Частые вопросы
Чем вписанная окружность отличается от описанной? Вписанная окружность лежит внутри многоугольника и касается каждой стороны в её середине, а описанная проходит через все вершины. Этот калькулятор считает именно вписанную.
Почему площадь многоугольника растёт с увеличением \(n\)? Длина стороны \(a\) остаётся неизменной, поэтому при большем \(n\) фигура физически становится крупнее — растут обе площади; по форме многоугольник приближается к окружности, но обе площади продолжают увеличиваться.
В каких единицах ведётся расчёт? В тех, в которых вы задали длину стороны \(a\). Длины получаются в этих же единицах, а площади — в их квадрате.
