Что считает этот калькулятор
Инструмент работает с правильным многоугольником — n-угольником, у которого все стороны и углы равны. Зная длину стороны a и диапазон числа сторон n, он вычисляет радиус описанной окружности (той, что проходит через все вершины), площадь этой окружности и площадь самого многоугольника. Результат выводится в виде таблицы: по одной строке на каждое целое n от выбранного минимума до максимума, чтобы фигуры можно было сравнивать рядом. Это чистая планиметрия, которая работает одинаково в любой точке мира — единицы измерения и страна роли не играют, а все площади получаются просто в квадрате той единицы длины, в которой вы задали a.
Как пользоваться
Введите длину стороны \(a\) (она должна быть больше 0), а затем наименьшее и наибольшее число сторон. Каждое \(n\) должно быть целым числом не меньше 3, ведь у многоугольника не может быть меньше трёх сторон. Таблица ограничена 200 строками. Чтобы получить расчёт для одной фигуры, задайте одинаковые значения «от» и «до».
Разбор формул
Радиус описанной окружности получается, если разбить многоугольник на \(n\) равнобедренных треугольников, сходящихся в центре: каждая сторона опирается на центральный угол \(2\pi/n\), откуда $$r = \frac{a}{2\sin(\pi/n)}.$$ Площадь описанной окружности — классическая $$S_c = \pi r^2.$$ Площадь многоугольника равна $$S_p = \frac{n\,a^2}{4\tan(\pi/n)}.$$ Чем больше \(n\), тем плотнее многоугольник прижимается к своей окружности, поэтому \(S_p\) стремится к \(S_c\) — это удобный способ проверить расчёт «на глаз».
Пример расчёта
Возьмём правильный шестиугольник (\(n = 6\)) со стороной \(a = 1\). Тогда \(\pi/6 \approx 0{,}5236\) рад, \(\sin(\pi/6) = 0{,}5\), поэтому $$r = \frac{1}{2\times0{,}5} = 1.$$ Площадь окружности \(S_c = \pi\times1^2 \approx 3{,}14159\), а с учётом \(\tan(\pi/6) \approx 0{,}57735\) площадь многоугольника составляет $$S_p = \frac{6}{4\times0{,}57735} \approx 2{,}59808.$$
Частые вопросы
Радиус описанной окружности — это то же самое, что апофема? Нет. Радиус описанной окружности доходит до вершин, а апофема — до середины стороны и потому короче.
Почему \(n\) должно быть не меньше 3? Менее трёх сторон не могут ограничить площадь, а тангенс в формуле теряет смысл при \(n = 1\) или 2.
В каких единицах получаются площади? Если \(a\) задана в сантиметрах, площади будут в квадратных сантиметрах — калькулятор не привязан к конкретным единицам и сохраняет согласованность во всех расчётах.
