Что такое описанная окружность прямоугольника?
Около любого прямоугольника можно построить единственную окружность, которая проходит через все четыре его вершины, — это и есть описанная окружность. Её центр находится точно в точке пересечения диагоналей, а диаметр равен диагонали прямоугольника. Калькулятор принимает длины двух сторон и возвращает радиус, диаметр и площадь описанной окружности, площадь самого прямоугольника, а также отношение этих двух площадей. Это чистая геометрия, и расчёт работает одинаково в любых единицах длины, которые вы выберете.
Как пользоваться
Укажите длины двух сторон, a и b, в одних и тех же единицах длины (сантиметры, дюймы, метры — на ваш выбор). Оба значения должны быть больше нуля. Результаты возвращаются в тех же единицах: длины для радиуса и диаметра, квадратные единицы для двух площадей и безразмерное число для отношения площадей.
Разбор формулы
Диагональ прямоугольника — это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\), поэтому её длина равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Так как эта диагональ служит диаметром описанной окружности, радиус равен её половине:
$$r = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$Диаметр составляет \(\phi = 2r\), площадь круга \(S_c = \pi r^2\), площадь прямоугольника \(S_r = a \cdot b\), а отношение площадей — \(S_c / S_r\).
Пример расчёта
Пусть \(a = 4\) и \(b = 3\). Диагональ равна \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\), значит \(r = 2{,}5\) и \(\phi = 5\). Площадь круга:
$$\pi \times 2{,}5^2 = 19{,}6350$$площадь прямоугольника — 12, а их отношение: \(19{,}6350 / 12 \approx 1{,}6362\).
Частые вопросы
Около любого ли прямоугольника можно описать окружность? Да. Поскольку все четыре вершины равноудалены от точки пересечения диагоналей, через них всегда проходит одна общая окружность.
А как быть с квадратом? Квадрат — это частный случай прямоугольника, у которого \(a = b\), поэтому \(r = a/\sqrt{2}\) и \(\phi = a\sqrt{2}\). Формулы остаются прежними.
Почему отношение площадей всегда больше 1? Окружность должна охватывать вершины прямоугольника, поэтому её площадь всегда превышает площадь прямоугольника. Минимальное отношение, \(\pi/2 \approx 1{,}5708\), достигается для квадрата.
