Qu'est-ce que le cercle circonscrit à un rectangle ?
Tout rectangle possède un unique cercle passant par ses quatre sommets : c'est le cercle circonscrit. Son centre se situe précisément à l'intersection des deux diagonales, et son diamètre est égal à la diagonale du rectangle. Ce calculateur prend les longueurs des deux côtés et renvoie le rayon, le diamètre et l'aire du cercle circonscrit, l'aire du rectangle lui-même, ainsi que le rapport entre ces deux aires. Il s'agit de géométrie pure : le résultat est identique quelle que soit l'unité de longueur retenue.
Mode d'emploi
Saisissez les longueurs des deux côtés, a et b, dans la même unité de longueur (centimètres, pouces, mètres — celle que vous préférez). Les deux valeurs doivent être strictement positives. Les résultats vous sont retournés dans cette même unité : des longueurs pour le rayon et le diamètre, des unités carrées pour les deux aires, et un nombre sans dimension pour le rapport des aires.
La formule expliquée
La diagonale d'un rectangle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés mesurent a et b ; sa longueur vaut donc \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\). Comme cette diagonale est un diamètre du cercle circonscrit, le rayon en est la moitié :
$$r = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{2}$$Le diamètre vaut \(\phi = 2r\), l'aire du cercle est \(S_{c} = \pi r^{2}\), l'aire du rectangle est \(S_{r} = a\cdot b\), et le rapport des aires est \(S_{c}/S_{r}\).
Exemple concret
Pour a = 4 et b = 3 : la diagonale vaut \(\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\), donc \(r = 2{,}5\) et \(\phi = 5\). L'aire du cercle est
$$\pi \times 2{,}5^{2} = 19{,}6350$$l'aire du rectangle est 12, et le rapport est \(19{,}6350 / 12 \approx 1{,}6362\).
FAQ
Tout rectangle possède-t-il un cercle circonscrit ? Oui. Comme les quatre sommets sont à égale distance de l'intersection des diagonales, un cercle unique passe toujours par eux.
Et pour un carré ? Un carré est un rectangle particulier où \(a = b\), donc \(r = a/\sqrt{2}\) et \(\phi = a\sqrt{2}\). Les mêmes formules s'appliquent.
Pourquoi le rapport des aires est-il toujours supérieur à 1 ? Le cercle doit englober les sommets du rectangle ; son aire dépasse donc toujours celle du rectangle. Le rapport minimal, \(\pi/2 \approx 1{,}5708\), correspond au cas du carré.
