Qu'est-ce que le cercle circonscrit d'un triangle ?
Le cercle circonscrit d'un triangle est l'unique cercle qui passe par ses trois sommets. Son centre, appelé centre du cercle circonscrit, correspond au point d'intersection des trois médiatrices des côtés, et son rayon porte le nom de rayon circonscrit. Ce calculateur détermine le rayon, le diamètre et l'aire du cercle circonscrit directement à partir des longueurs des trois côtés ; il indique également l'aire du triangle lui-même ainsi que le rapport entre ces deux aires.
Comment l'utiliser
Saisissez les longueurs des trois côtés a, b et c dans une unité de longueur cohérente (tout en cm, tout en m, etc.). L'outil renvoie le rayon et le diamètre dans cette même unité, et les deux aires dans cette unité au carré. Les côtés doivent être positifs et former un triangle valide : la somme de deux côtés quelconques doit toujours être supérieure au troisième. Dans le cas contraire, le résultat est signalé comme non valide.
La formule expliquée
Calculez d'abord le demi-périmètre \(s = (a + b + c) / 2\). La formule de Héron donne alors l'aire du triangle \(S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). Le rayon circonscrit découle de l'identité
$$R = \frac{a \, b \, c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$À partir de \(r\), on obtient le diamètre \(\phi = 2r\), l'aire du cercle circonscrit \(S_c = \pi r^2\), et enfin le rapport des aires \(S_c / S_t\).
Exemple concret
Prenons le triangle rectangle 3-4-5. Le demi-périmètre vaut \(s = 6\), donc
$$S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$Le rayon circonscrit est
$$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5$$le diamètre vaut \(5\), l'aire du cercle circonscrit est \(\pi \times 2{,}5^2 = 19{,}6350\), et le rapport \(S_c / S_t = 3{,}2725\). Remarquez que le diamètre est égal à l'hypoténuse \(5\) — une propriété bien connue des triangles rectangles.
FAQ
Pourquoi mon triangle est-il considéré comme non valide ? Soit l'un des côtés est nul ou négatif, soit le plus grand côté est au moins aussi long que la somme des deux autres, ce qui ne peut pas former un triangle fermé.
Quelles unités les résultats utilisent-ils ? Celle que vous avez employée pour les côtés : le rayon et le diamètre partagent cette unité, et les aires sont exprimées dans cette unité au carré.
Fonctionne-t-il pour n'importe quel triangle ? Oui — qu'il soit acutangle, rectangle ou obtusangle — du moment qu'il s'agit d'un véritable triangle non dégénéré.
