¿Qué es la circunferencia circunscrita de un triángulo?
La circunferencia circunscrita, o circuncírculo, de un triángulo es la única circunferencia que pasa por sus tres vértices. Su centro es el circuncentro (el punto donde se cortan las tres mediatrices de los lados) y su radio se conoce como circunradio. Esta calculadora obtiene el circunradio, el diámetro y el área de la circunferencia circunscrita directamente a partir de las longitudes de los tres lados, y además muestra el área del propio triángulo y la razón entre ambas áreas.
Cómo usarla
Introduce las longitudes de los tres lados a, b y c en una misma unidad de longitud (todos en cm, todos en m, etc.). La herramienta devuelve el radio y el diámetro en esa misma unidad, y ambas áreas en esa unidad al cuadrado. Los lados deben ser positivos y formar un triángulo válido: la suma de dos lados cualesquiera debe ser mayor que el tercero. Si no se cumple, el resultado se marca como no válido.
La fórmula explicada
Primero se calcula el semiperímetro \(s = (a + b + c) / 2\). La fórmula de Herón da entonces el área del triángulo \(S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\). El circunradio se obtiene de la identidad $$R = \frac{a \, b \, c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$ A partir de \(r\) tenemos el diámetro \(\varphi = 2r\), el área del circuncírculo \(S_c = \pi \cdot r^2\), y por último la razón entre áreas \(S_c / S_t\).
Ejemplo resuelto
Tomemos el triángulo rectángulo de lados 3-4-5. El semiperímetro es \(s = 6\), así que $$S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ El circunradio es $$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2{,}5$$ el diámetro es 5; el área del circuncírculo es \(\pi \times 2{,}5^2 = 19{,}6350\); y la razón \(S_c / S_t = 3{,}2725\). Observa que el diámetro coincide con la hipotenusa 5, una propiedad conocida de los triángulos rectángulos.
Preguntas frecuentes
¿Por qué mi triángulo no es válido? O bien un lado es cero o negativo, o bien el lado más largo es al menos tan largo como la suma de los otros dos, lo que no permite formar un triángulo cerrado.
¿Qué unidades emplean los resultados? Las mismas que uses para los lados: el radio y el diámetro comparten esa unidad, y las áreas se expresan en esa unidad al cuadrado.
¿Funciona con cualquier triángulo? Sí: acutángulo, rectángulo u obtusángulo, siempre que sea un triángulo real y no degenerado.
