ما هي الدائرة المحيطة بالمثلث؟
الدائرة المحيطة بالمثلث هي الدائرة الوحيدة التي تمرّ برؤوسه الثلاثة جميعها. ويقع مركزها فيما يُعرف بمركز الدائرة المحيطة، وهو نقطة تقاطع المنصّفات العمودية للأضلاع الثلاثة، بينما يُسمّى نصف قطرها بنصف القطر المحيطي. تحسب هذه الأداة نصف القطر المحيطي والقطر ومساحة الدائرة المحيطة مباشرةً من أطوال الأضلاع الثلاثة، كما تعرض مساحة المثلث نفسه والنسبة بين المساحتين.
طريقة الاستخدام
أدخل أطوال الأضلاع الثلاثة \(a\) و\(b\) و\(c\) بأي وحدة طول متناسقة (الكل بالسنتيمتر، أو الكل بالمتر، وهكذا). تُرجع الأداة نصف القطر والقطر بالوحدة نفسها، والمساحتين بمربّع تلك الوحدة. ويجب أن تكون الأضلاع موجبة وأن تُكوّن مثلثًا صحيحًا، أي أن يكون مجموع أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث. وإن لم يتحقق ذلك، تُصنّف النتيجة على أنها غير صالحة.
شرح المعادلة
احسب أولًا نصف المحيط بالعلاقة $$s = \frac{a + b + c}{2}$$ ثم تعطي صيغة هيرون مساحة المثلث على النحو $$S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ ويأتي نصف القطر المحيطي من المتطابقة $$r = \frac{abc}{4 S_t}$$ ومن قيمة \(r\) نحصل على القطر \(\phi = 2r\)، ومساحة الدائرة المحيطة \(S_c = \pi r^2\)، وأخيرًا نسبة المساحتين \(S_c / S_t\).
مثال محلول
لنأخذ المثلث القائم الزاوية ذا الأضلاع 3-4-5. نصف المحيط هو \(s = 6\)، ومن ثَمّ $$S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ ويكون نصف القطر المحيطي $$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$ والقطر يساوي 5، ومساحة الدائرة المحيطة \(\pi \times 2.5^2 = 19.6350\)، ونسبة المساحتين \(S_c / S_t = 3.2725\). لاحظ أن القطر يساوي الوتر 5، وهي خاصية معروفة للمثلثات القائمة الزاوية.
الأسئلة الشائعة
لماذا يظهر مثلثي غير صالح؟ إمّا أن أحد الأضلاع صفر أو سالب، أو أن أطول ضلع يساوي مجموع الضلعين الآخرين أو يزيد عليه، وهو ما لا يُكوّن مثلثًا مغلقًا.
بأي وحدات تظهر النتيجة؟ بالوحدة نفسها التي استخدمتها للأضلاع: نصف القطر والقطر بالوحدة ذاتها، والمساحات بمربّع تلك الوحدة.
هل تعمل مع أي مثلث؟ نعم، سواء كان حاد الزوايا أو قائم الزاوية أو منفرج الزاوية، ما دام مثلثًا حقيقيًا غير منحلّ.
