삼각형 외접원이란?
외접원(circumcircle)은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 단 하나의 원을 말합니다. 이 원의 중심은 외심으로, 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다. 그리고 외심에서 꼭짓점까지의 거리, 즉 외접원의 반지름을 외접원 반지름(외접반경)이라고 부릅니다. 이 계산기는 세 변의 길이만으로 외접원 반지름, 지름, 외접원 넓이를 바로 구해 주며, 여기에 더해 삼각형 자체의 넓이와 두 넓이의 비율까지 함께 알려 줍니다.
사용 방법
세 변의 길이 \(a\), \(b\), \(c\)를 같은 길이 단위로 입력하세요(모두 cm, 또는 모두 m처럼 단위를 통일해야 합니다). 그러면 반지름과 지름은 동일한 단위로, 두 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다. 변의 길이는 반드시 양수여야 하며, 삼각형이 성립하는 조건을 만족해야 합니다. 즉, 임의의 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 합니다. 이 조건을 만족하지 않으면 유효하지 않은 입력으로 표시됩니다.
공식 풀이
먼저 반둘레 \(s = (a + b + c) / 2\) 를 구합니다. 그다음 헤론의 공식으로 삼각형 넓이 \(S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) 를 계산합니다. 외접원 반지름은 다음 관계식에서 얻어집니다.
$$R = \frac{a \, b \, c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$이렇게 구한 \(r\) 로부터 지름 \(\phi = 2r\), 외접원 넓이 \(S_c = \pi r^2\), 마지막으로 넓이 비율 \(S_c / S_t\) 를 차례로 계산할 수 있습니다.
계산 예시
변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형을 살펴봅시다. 반둘레는 \(s = 6\) 이므로
$$S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$입니다. 외접원 반지름은
$$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5,$$지름은 5, 외접원 넓이는 \(\pi \times 2.5^2 = 19.6350\), 넓이 비율 \(S_c / S_t = 3.2725\) 가 됩니다. 여기서 지름이 빗변 5와 같다는 점에 주목하세요. 이는 직각삼각형이 가진 잘 알려진 성질입니다.
자주 묻는 질문
왜 삼각형이 유효하지 않다고 나오나요? 변 중 하나가 0이거나 음수이거나, 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 크거나 같기 때문입니다. 이 경우에는 닫힌 삼각형을 만들 수 없습니다.
결과는 어떤 단위로 표시되나요? 변에 입력한 단위를 그대로 따릅니다. 반지름과 지름은 그 단위로, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.
모든 삼각형에 사용할 수 있나요? 네. 예각삼각형이든 직각삼각형이든 둔각삼각형이든, 실제로 성립하는(퇴화되지 않은) 삼각형이라면 모두 계산할 수 있습니다.
