什麼是三角形的外接圓？
三角形的外接圓（circumcircle）是唯一一個能同時通過三個頂點的圓。它的圓心稱為「外心」，也就是三條邊的垂直平分線交會的點；圓心到頂點的距離則稱為「外接圓半徑」。這個計算器可以直接由三邊長求出外接圓半徑、直徑與外接圓面積，同時也會算出三角形本身的面積，以及兩者的面積比。
使用方法
分別輸入三邊長 \(a\)、\(b\)、\(c\)，三個數值請使用相同的長度單位（例如全部以公分，或全部以公尺）。計算器會以相同單位回傳半徑與直徑，並以該單位的平方表示兩個面積。三邊長必須為正數，而且要能構成一個合法的三角形：任意兩邊之和必須大於第三邊。若不符合條件，系統會標示為無效三角形。
公式說明
首先計算半周長 \(s = (a + b + c) / 2\)。接著利用海龍公式（Heron's formula）求三角形面積 \(S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)。外接圓半徑可由恆等式
$$R = \frac{a \, b \, c}{4 \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$$求得。有了 \(r\)，就能算出直徑 \(\varphi = 2r\)、外接圓面積 \(S_c = \pi r^2\)，最後再求面積比 \(S_c / S_t\)。
實際範例
以經典的 3-4-5 直角三角形為例。半周長 \(s = 6\)，因此 \(S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)。外接圓半徑
$$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$直徑為 5，外接圓面積為 \(\pi \times 2.5^2 = 19.6350\)，面積比 \(S_c / S_t = 3.2725\)。值得注意的是，直徑剛好等於斜邊 5——這正是直角三角形的一個重要性質。
常見問題
為什麼我的三角形無效？可能是某一邊為零或負數，或是最長邊大於等於另外兩邊之和，這樣便無法圍成一個封閉的三角形。
計算結果使用什麼單位？結果會跟著你輸入邊長時所用的單位：半徑與直徑使用相同單位，面積則以該單位的平方表示。
是否適用於任何三角形？是的——無論是銳角、直角還是鈍角三角形都適用，只要它是一個真正且非退化的三角形即可。
