什麼是 30-60-90 三角形？
30-60-90 三角形是一種特殊的直角三角形，三個內角分別恰好為 30°、60° 與 90°。由於角度固定，三邊長度永遠維持相同比例。若短直角邊（30° 角所對的邊）長度為 \(x\)，則長直角邊（60° 角所對的邊）為 \(x\sqrt{3}\)，斜邊（90° 角所對的邊）則為 \(2x\)。憑著這組 \(1 : \sqrt{3} : 2\) 的比例，只要知道任一邊，就能推算出整個三角形。
如何使用本計算器
先選擇你已知的是哪一邊──短直角邊、長直角邊還是斜邊──再輸入它的長度。計算器會先求出短直角邊 \(x\)，再依序推導其餘所有數值：另外兩邊、面積與周長。只要單位前後一致，無論是公分、公尺、英吋或英呎，任何正數都適用。
公式解析
所有計算都以短直角邊 \(x\) 為基準。已知長直角邊時，\(x = \text{長邊} \div \sqrt{3}\)；已知斜邊時，\(x = \text{斜邊} \div 2\)。接著：長邊 = \(x\sqrt{3}\)、斜邊 = \(2x\)、面積 = \(\frac{\sqrt{3}}{2}\,x^2\)、周長 = \(x + x\sqrt{3} + 2x = x(3 + \sqrt{3})\)。
$$\text{short} : \text{long} : \text{hyp} = x : x\sqrt{3} : 2x$$
實際範例
假設短直角邊為 5，則長直角邊 = \(5 \times \sqrt{3} \approx 8.66\)、斜邊 = \(2 \times 5 = 10\)、面積 = \(\frac{\sqrt{3}}{2} \times 5^2 \approx 21.65\)，周長 \(\approx 5 + 8.66 + 10 = 23.66\)。
30-60-90 邊長比例參考表
在每個 30-60-90 直角三角形中，三條邊保持固定比例 \(1 : \sqrt{3} : 2\)。如果短邊（與 30° 角相對）是 \(a\)，那麼長邊（與 60° 角相對）是 \(a\sqrt{3}\)，斜邊（與 90° 角相對）是 \(2a\)。面積是 \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\)，周長是 \(a(3+\sqrt{3})\)。下表列出了幾個常見短邊長度的精確值和近似值（使用 \(\sqrt{3}\approx1.732\)）。
| 短邊 \(a\) | 長邊 \(a\sqrt{3}\) | 斜邊 \(2a\) | 面積 \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\) | 周長 \(a(3+\sqrt{3})\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | \(\sqrt{3}\approx1.732\) | 2 | \(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866\) | \(3+\sqrt{3}\approx4.732\) |
| 2 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | 4 | \(2\sqrt{3}\approx3.464\) | \(\approx9.464\) |
| 5 | \(5\sqrt{3}\approx\) 8.660 | 10 | \(\tfrac{25\sqrt{3}}{2}\approx21.651\) | \(\approx23.660\) |
| 10 | \(10\sqrt{3}\approx17.321\) | 20 | \(50\sqrt{3}\approx86.603\) | \(\approx47.321\) |
每一行都線性縮放：將短邊加倍會使每條邊和周長都加倍，但會使面積四倍增加（因為面積取決於 \(a^{2}\)）。
常見問題
哪一邊才是短直角邊？短直角邊永遠是最小角（30°）所對的那一邊，也是三邊中最短的一邊。
可以直接輸入斜邊嗎？可以。從選單中選擇「斜邊」，計算器會將它除以 2 求出短直角邊，再重建整個三角形。
長直角邊是短直角邊的兩倍嗎？不是──這是常見的誤解。斜邊才是短直角邊的兩倍；長直角邊則是短直角邊的 \(\sqrt{3}\)（約 1.732）倍。
