त्रिभुज का परिवृत्त (परिगत वृत्त) क्या होता है?
किसी त्रिभुज का परिगत वृत्त वह अनोखा वृत्त होता है जो उसके तीनों शीर्षों से होकर गुज़रता है। इसका केंद्र परिकेंद्र कहलाता है — यही वह बिंदु है जहाँ तीनों भुजाओं के लंब समद्विभाजक आपस में मिलते हैं। इस वृत्त की त्रिज्या को परित्रिज्या कहते हैं। यह कैलकुलेटर सिर्फ़ तीन भुजाओं की लंबाई से सीधे परित्रिज्या, व्यास और परिगत वृत्त का क्षेत्रफल निकाल देता है, और साथ ही त्रिभुज का अपना क्षेत्रफल तथा दोनों क्षेत्रफलों का अनुपात भी बता देता है।
इसका उपयोग कैसे करें
तीनों भुजाओं की लंबाई \(a\), \(b\) और \(c\) किसी एक ही माप इकाई में दर्ज करें (सभी सेमी में, या सभी मीटर में, आदि)। टूल त्रिज्या और व्यास उसी इकाई में और दोनों क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में लौटाता है। भुजाएँ धनात्मक होनी चाहिए और एक वैध त्रिभुज बनाना ज़रूरी है: किन्हीं भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए। अगर ऐसा नहीं है, तो परिणाम को अमान्य के रूप में चिह्नित कर दिया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले अर्ध-परिमाप निकालें: $$s = \frac{a + b + c}{2}$$ फिर हीरोन का सूत्र त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है: $$S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ इसके बाद परित्रिज्या इस सम्बंध से मिलती है: $$r = \frac{abc}{4 S_t}$$ \(r\) से हमें व्यास \(\phi = 2r\), परिगत वृत्त का क्षेत्रफल \(S_c = \pi r^2\), और अंत में क्षेत्रफल अनुपात \(S_c / S_t\) प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
3-4-5 वाले समकोण त्रिभुज को लें। अर्ध-परिमाप \(s = 6\) है, इसलिए $$S_t = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6$$ परित्रिज्या $$r = \frac{3 \times 4 \times 5}{4 \times 6} = \frac{60}{24} = 2.5$$ है, व्यास \(5\) है, परिगत वृत्त का क्षेत्रफल \(\pi \times 2.5^2 = 19.6350\) है, और अनुपात \(S_c / S_t = 3.2725\) है। ध्यान दें कि व्यास कर्ण \(5\) के बराबर है — यह समकोण त्रिभुजों का एक जाना-माना गुण है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
मेरा त्रिभुज अमान्य क्यों दिखा रहा है? या तो कोई भुजा शून्य या ऋणात्मक है, या सबसे लंबी भुजा बाकी दोनों भुजाओं के योग जितनी या उससे बड़ी है, जिससे बंद त्रिभुज बन ही नहीं सकता।
परिणाम किस इकाई में आता है? जो भी इकाई आपने भुजाओं के लिए इस्तेमाल की: त्रिज्या और व्यास उसी इकाई में होते हैं, और क्षेत्रफल उसी इकाई के वर्ग में।
क्या यह हर तरह के त्रिभुज पर काम करता है? हाँ — न्यूनकोण, समकोण या अधिककोण — बशर्ते वह एक असली, अपभ्रष्ट नहीं (non-degenerate) त्रिभुज हो।
