त्रिभुज अंतःवृत्त (Inscribed Circle) त्रिज्या और क्षेत्रफल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

भुजा a की लंबाई (L)

भुजा b की लंबाई (L)

भुजा c की लंबाई (L)

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (2)

1. Triangle Area (Heron Formula)

   

   Area of the triangle from its three sides using Heron formula, with s the semi-perimeter.

2. Incircle Area

   

   Area of the inscribed circle using the inradius r.

परिणाम

अंतःवृत्त त्रिज्या r

1

लंबाई (L)

Incircle diameter φ	2 L
अंतःवृत्त क्षेत्रफल Sc	3.141593 L²
त्रिभुज क्षेत्रफल St	6 L²
क्षेत्रफल अनुपात Sc/St	0.523599

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी भी त्रिभुज की तीन भुजाओं से उसका अंतःवृत्त (अंदर बना वृत्त, inscribed circle) निकालता है। अंतःवृत्त वह सबसे बड़ा वृत्त होता है जो त्रिभुज के अंदर समा जाता है और उसकी तीनों भुजाओं को छूता है; इसका केंद्र अंतःकेंद्र (incenter) कहलाता है। यह कैलकुलेटर अंतःवृत्त की त्रिज्या (r), व्यास, अंतःवृत्त का क्षेत्रफल, त्रिभुज का क्षेत्रफल, और अंतःवृत्त के क्षेत्रफल का त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात बताता है। सभी भुजाएँ एक ही इकाई "L" में डालें; त्रिज्या और व्यास L में और क्षेत्रफल L² में मिलते हैं — कोई इकाई परिवर्तन (unit conversion) नहीं किया जाता।

अंतःवृत्त त्रिभुज के अंदर ठीक से बैठता है और तीनों भुजाओं को एक-एक बिंदु पर छूता है; \(r\) इसकी त्रिज्या है।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

तीनों भुजाओं a, b और c की लंबाई दर्ज करें। ये सभी धनात्मक होनी चाहिए और त्रिभुज असमानता (triangle inequality) का पालन करनी चाहिए — यानी हर भुजा बाकी दो भुजाओं के योग से सख़्ती से कम होनी चाहिए। अगर ये एक वैध त्रिभुज नहीं बनातीं, तो कैलकुलेटर कोई बेमतलब नतीजा देने के बजाय त्रुटि (error) दिखाता है।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले अर्ध-परिमाप निकालें: $$s = \frac{a + b + c}{2}$$ हीरोन के सूत्र (Heron's formula) से त्रिभुज का क्षेत्रफल मिलता है $$S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ अंतःवृत्त की त्रिज्या बस क्षेत्रफल को अर्ध-परिमाप से भाग देकर मिलती है: $$r = \frac{S_t}{s}$$ इसके बाद व्यास \(\phi = 2r\), अंतःवृत्त का क्षेत्रफल \(S_c = \pi r^2\), और क्षेत्रफल अनुपात \(\frac{S_c}{S_t}\) होता है।

अंतःकेंद्र वहाँ होता है जहाँ तीनों कोण समद्विभाजक मिलते हैं, और अंतःत्रिज्या क्षेत्रफल को अर्धपरिमाप से भाग देने के बराबर होती है।

हल किया गया उदाहरण

प्रसिद्ध 3-4-5 समकोण त्रिभुज के लिए: $$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$S_t = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ इसलिए \(r = \frac{6}{6} = 1\), व्यास \(= 2\), अंतःवृत्त क्षेत्रफल \(= \pi \cdot 1^2 \approx 3.14159\), और क्षेत्रफल अनुपात \(= \frac{3.14159}{6} \approx 0.5236\)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अंतःवृत्त क्या है? यह त्रिभुज के अंदर का वह अनोखा वृत्त है जो तीनों भुजाओं को छूता है। इसका केंद्र अंतःकेंद्र (incenter) होता है, जहाँ कोणों के समद्विभाजक (angle bisectors) मिलते हैं।

मुझे त्रुटि क्यों मिल रही है? आपकी भुजाएँ एक वास्तविक त्रिभुज नहीं बनातीं — या तो कोई भुजा शून्य/ऋणात्मक है, या एक भुजा बाकी दो के योग से बड़ी है।

क्या यह हर तरह के त्रिभुज पर काम करता है? हाँ — विषमबाहु (scalene), समद्विबाहु (isosceles), समबाहु (equilateral) और समकोण त्रिभुज, सभी पर यह काम करता है, बशर्ते त्रिभुज असमानता पूरी होती हो।