Калькулятор вписанной окружности треугольника: радиус и площадь

Введите расчет

Длина стороны a (L)

Длина стороны b (L)

Длина стороны c (L)

Математическая формула

Show calculation steps (2)

1. Triangle Area (Heron Formula)

   

   Area of the triangle from its three sides using Heron formula, with s the semi-perimeter.

2. Incircle Area

   

   Area of the inscribed circle using the inradius r.

Результатов

Радиус вписанной окружности r

1

длина (L)

Incircle diameter φ	2 L
Площадь вписанной окружности Sc	3,141593 L²
Площадь треугольника St	6 L²
Отношение площадей Sc/St	0,523599

Что вычисляет этот калькулятор

Инструмент находит вписанную окружность любого треугольника по длинам трёх его сторон. Вписанная окружность — это наибольшая окружность, которая помещается внутри треугольника и касается всех трёх его сторон; её центр называется инцентром. Калькулятор выдаёт радиус вписанной окружности (r), её диаметр, площадь вписанной окружности, площадь самого треугольника и отношение площади окружности к площади треугольника. Все стороны нужно вводить в одной и той же единице «L»: радиус и диаметр получаются в L, а площади — в L², без какого-либо перевода единиц.

Вписанная окружность плотно помещается внутри треугольника, касаясь каждой из трёх сторон в одной точке; r — её радиус.

Как пользоваться

Введите длины трёх сторон a, b и c. Все они должны быть положительными и удовлетворять неравенству треугольника — каждая сторона строго меньше суммы двух других. Если из заданных значений нельзя составить треугольник, калькулятор сообщит об ошибке, а не выдаст бессмысленный результат.

Разбор формулы

Сначала вычисляем полупериметр \(s = (a + b + c) / 2\). По формуле Герона находим площадь треугольника $$S_t = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ Радиус вписанной окружности равен площади, делённой на полупериметр: $$r = \frac{S_t}{s}$$ Дальше диаметр равен \(\phi = 2r\), площадь вписанной окружности \(S_c = \pi r^2\), а отношение площадей — \(S_c / S_t\).

Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения трёх биссектрис, а её радиус равен площади, делённой на полупериметр.

Пример расчёта

Возьмём классический прямоугольный треугольник со сторонами 3-4-5: $$s = \frac{3+4+5}{2} = 6$$ $$S_t = \sqrt{6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \sqrt{36} = 6$$ Значит, \(r = 6/6 = 1\), диаметр = 2, площадь вписанной окружности \(= \pi \cdot 1^2 \approx 3{,}14159\), а отношение площадей \(= 3{,}14159 / 6 \approx 0{,}5236\).

Частые вопросы

Что такое вписанная окружность? Это единственная окружность внутри треугольника, которая касается всех трёх его сторон. Её центр — инцентр, точка пересечения биссектрис углов.

Почему появляется ошибка? Из ваших сторон нельзя составить настоящий треугольник: либо одна из сторон равна нулю или отрицательна, либо одна сторона длиннее суммы двух других.

Подходит ли он для любого треугольника? Да: разносторонние, равнобедренные, равносторонние и прямоугольные треугольники — всё работает, пока выполняется неравенство треугольника.