Калькулятор объёма и площади поверхности прямого кругового конуса

Введите расчет

Радиус (r)

Высота (h)

Единица измерения длины м см мм км дюйм фут

Математическая формула

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height from radius and height

2. Lateral Surface Area

   

   Lateral (side) surface area; slant height l = sqrt(r^2 + h^2)

3. Total Surface Area

   

   Lateral surface area plus circular base area

Результатов

Объём (V)

37,699112

cubic units (unit³)

Площадь боковой поверхности (S_бок)	47,12389 unit²
Площадь полной поверхности (S)	75,398224 unit²
Образующая (l)	5 unit

Что считает этот калькулятор

Инструмент вычисляет геометрические характеристики прямого кругового конуса — конуса, вершина которого находится точно над центром круглого основания. Достаточно ввести радиус основания (r) и высоту по перпендикуляру (h), и калькулятор выдаст объём, площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и длину образующей. Все размеры задаются в одной выбранной вами единице измерения, а результаты масштабируются автоматически: длина — в линейных единицах, площади — в квадратных, объём — в кубических.

Как пользоваться

Укажите радиус основания и высоту, выберите единицу измерения длины (м, см, мм, км, дюймы, футы) и нажмите кнопку расчёта. И \(r\), и \(h\) должны быть положительными: нулевое или отрицательное значение даёт вырожденную фигуру, которая уже не является конусом, поэтому такой ввод отклоняется. Выбранная единица применяется к обоим параметрам; объём выводится в кубических единицах, а площади — в квадратных.

Разбор формул

Образующая — это прямой отрезок от вершины до края основания. Её длина находится по теореме Пифагора:

$$\ell = \sqrt{r^{2} + h^{2}}$$

Объём равен одной трети произведения площади основания на высоту:

$$V = \tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$$

Площадь боковой поверхности (изогнутого бока, развёрнутого в сектор) равна \(\pi r \ell\). Прибавив площадь основания \(\pi r^{2}\), получаем полную поверхность:

$$S = \pi r(\ell + r)$$

Размеры конуса: радиус основания \(r\), высота \(h\) и образующая \(\ell = \sqrt{r^{2}+h^{2}}\).

Пример расчёта

Пусть \(r = 3\) и \(h = 4\). Образующая:

$$\ell = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

Объём:

$$V = \tfrac{1}{3}\pi(9)(4) = 12\pi \approx 37{,}699$$

Площадь боковой поверхности:

$$A_{L} = \pi(3)(5) = 15\pi \approx 47{,}124$$

Площадь основания:

$$\pi r^{2} = 9\pi \approx 28{,}274$$

Полная поверхность:

$$A_{T} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 75{,}398$$

Частые вопросы

Подходит ли калькулятор для наклонного (косого) конуса? Нет. Эти формулы рассчитаны на прямой круговой конус, у которого вершина расположена ровно над центром основания. У наклонного конуса формула объёма та же, но площадь поверхности вычисляется иначе и гораздо сложнее.

Чем образующая отличается от высоты? Высота (\(h\)) — это расстояние от основания до вершины по перпендикуляру; образующая (\(\ell\)) измеряется вдоль наклонного бока и всегда больше и \(r\), и \(h\).

Почему радиус и высота обязательно положительные? При нулевом радиусе или высоте конус «схлопывается» в линию или круг с нулевым объёмом, то есть перестаёт быть настоящей трёхмерной фигурой.