직원뿔 부피 및 표면적 계산기

계산 입력

반지름 (r)

높이 (h)

길이 단위 m cm mm km in ft

공식

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height from radius and height

2. Lateral Surface Area

   

   Lateral (side) surface area; slant height l = sqrt(r^2 + h^2)

3. Total Surface Area

   

   Lateral surface area plus circular base area

결과

부피 (V)

37.699112

cubic units (unit³)

옆면(측면) 넓이 (S_side)	47.12389 unit²
전체 표면적 (S)	75.398224 unit²
모선 길이 (l)	5 unit

이 계산기의 기능

이 도구는 직원뿔(꼭짓점이 원형 밑면의 중심 바로 위에 놓인 원뿔)의 기하학적 성질을 계산합니다. 밑면 반지름(r)과 수직 높이(h)만 입력하면 부피, 옆면(측면) 넓이, 전체 표면적, 그리고 모선 길이를 구해 줍니다. 모든 길이는 여러분이 선택한 하나의 단위를 사용하며, 결과값도 그에 맞춰 환산됩니다(길이는 단위, 넓이는 단위의 제곱, 부피는 단위의 세제곱).

사용 방법

밑면 반지름과 높이를 입력하고 길이 단위(m, cm, mm, km, in, ft)를 고른 뒤 계산하면 됩니다. r과 h는 모두 양수여야 합니다. 0이나 음수를 넣으면 실제 원뿔이 될 수 없는 퇴화 도형이 되므로 입력이 거부됩니다. 선택한 단위는 두 입력값 모두에 적용되며, 부피는 그 단위의 세제곱, 넓이는 그 단위의 제곱으로 표시됩니다.

공식 풀이

모선 길이는 꼭짓점에서 밑면 가장자리까지의 직선 거리로, 피타고라스 정리를 이용해 구합니다: $$\ell = \sqrt{\text{r}^{2} + \text{h}^{2}}$$ 부피는 밑면 넓이에 높이를 곱한 값의 3분의 1입니다: $$V = \frac{1}{3}\pi\, \text{r}^{2}\, \text{h}$$ 옆넓이(곡면을 펼치면 부채꼴이 되는 측면)는 \(\pi\, \text{r}\, \ell\)로 계산됩니다. 여기에 밑면 원의 넓이 \(\pi\, \text{r}^{2}\)를 더하면 전체 표면적이 됩니다: $$S = \pi\, \text{r}\, (\ell + \text{r})$$

원뿔의 치수: 밑면 반지름 r, 높이 h, 모선 \(\ell = \sqrt{\text{r}^{2}+\text{h}^{2}}\).

계산 예시

r = 3, h = 4인 경우를 살펴보겠습니다. 모선 길이 $$\ell = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ 부피 $$V = \frac{1}{3}\pi(9)(4) = 12\pi \approx 37.699$$ 옆넓이 $$A_{L} = \pi(3)(5) = 15\pi \approx 47.124$$ 밑면 넓이 $$9\pi \approx 28.274$$ 전체 표면적 $$A_{T} = 15\pi + 9\pi = 24\pi \approx 75.398$$

자주 묻는 질문

빗원뿔(기울어진 원뿔)에도 사용할 수 있나요? 아니요. 이 공식들은 꼭짓점이 밑면 중심 바로 위에 있는 직원뿔을 전제로 합니다. 빗원뿔은 부피 공식은 같지만, 표면적은 훨씬 복잡한 다른 방식으로 구해야 합니다.

모선 길이와 높이는 어떻게 다른가요? 높이(h)는 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 거리이고, 모선 길이(l)는 비스듬한 옆면을 따라 잰 거리입니다. 모선 길이는 언제나 r과 h보다 큽니다.

반지름과 높이가 반드시 양수여야 하는 이유는 무엇인가요? 반지름이나 높이가 0이면 원뿔이 선이나 원판으로 납작해져 부피가 0이 되므로, 입체 도형으로서의 원뿔이 성립하지 않기 때문입니다.