이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 다섯 가지 정다면체(플라톤 입체) 중 하나의 한 변 길이를 입력받아 네 가지 기하 값을 계산합니다. 바로 부피, 겉넓이, 내접구(모든 면에 안쪽에서 접하면서 내부에 들어가는 가장 큰 구)의 반지름, 그리고 외접구(모든 꼭짓점을 지나며 입체를 감싸는 가장 작은 구)의 반지름입니다. 여기에 쓰이는 수학은 어느 나라에서나 똑같이 적용되는 보편적인 공식이며, 결과는 일반적인 소수 형태로 출력됩니다.
다섯 가지 플라톤 입체
플라톤 입체는 합동인 정다각형 면이 모든 꼭짓점에서 똑같은 방식으로 만나는 입체입니다. 이런 조건을 만족하는 입체는 정확히 다섯 개뿐입니다. 정사면체(정삼각형 4개), 정육면체(정사각형 6개), 정팔면체(정삼각형 8개), 정십이면체(정오각형 12개), 정이십면체(정삼각형 20개)입니다.
사용 방법
드롭다운에서 입체를 선택하고 한 변의 길이를 입력한 뒤 단위(mm, cm, m, in, ft)를 고르세요. 입력값은 내부적으로 미터로 변환되므로 결과는 모두 SI 단위로 표시됩니다. 부피는 m³, 겉넓이는 m², 두 구의 반지름은 m 단위입니다. 모든 출력값은 한 변 길이의 거듭제곱에 일정한 계수를 곱한 형태입니다. 부피는 \(a^{3}\)에, 겉넓이는 \(a^{2}\)에, 두 반지름은 \(a\)에 비례합니다.
공식 풀이
정사면체의 경우 $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\,a^{3} \approx 0.117851\,a^{3}, \quad S = \sqrt{3}\,a^{2} \approx 1.732051\,a^{2}$$이며, 내접구 반지름 \(r_{in} = \frac{\sqrt{6}}{12}\,a\), 외접구 반지름 \(r_{out} = \frac{\sqrt{6}}{4}\,a\)입니다. 나머지 네 입체에도 각각 고유한 닫힌 형태의 계수가 있습니다(가장 간단한 정육면체는 \(V = a^{3}\), \(S = 6a^{2}\), \(r_{in} = \frac{a}{2}\), \(r_{out} = \frac{\sqrt{3}}{2}a\)). 모든 입체에서 외접구 반지름은 항상 내접구 반지름보다 큽니다.
계산 예시
한 변이 \(a = 2\) m인 정육면체를 예로 들어 보겠습니다. 부피 $$= 2^{3} = 8 \text{ m}^{3}.$$ 겉넓이 $$= 6 \times 2^{2} = 24 \text{ m}^{2}.$$ 내접구 반지름 $$= \frac{2}{2} = 1 \text{ m}.$$ 외접구 반지름 $$= \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1.732051 \text{ m}$$입니다.
자주 묻는 질문
두 구의 반지름은 어떻게 다른가요? 내접구 반지름은 각 면에 안쪽에서 살짝 닿는 내접구의 크기를, 외접구 반지름은 모든 꼭짓점을 지나는 외접구의 크기를 나타냅니다.
한 변을 인치나 피트로 입력해도 되나요? 됩니다. 단위를 선택하면 계산 전에 미터로 변환되므로 모든 결과가 SI 단위로 나옵니다.
0이나 음수를 입력하면 어떻게 되나요? 입체의 한 변 길이는 반드시 양수여야 하므로, 0 이하의 값을 입력하면 잘못된 입력으로 표시됩니다.
