Что считает этот калькулятор
Инструмент берёт длину ребра любого из пяти правильных многогранников (платоновых тел) и вычисляет четыре геометрические величины: объём, площадь поверхности, радиус вписанной сферы (самой большой сферы, которая помещается внутри и касается каждой грани) и радиус описанной сферы (наименьшей сферы, которая охватывает тело и проходит через все вершины). Математика здесь универсальна — формулы одинаково работают в любой стране, а результаты выводятся обычными десятичными числами.
Пять платоновых тел
У платонова тела все грани — одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине они сходятся одинаковым образом. Таких тел ровно пять: правильный тетраэдр (4 треугольника), куб, или правильный гексаэдр (6 квадратов), правильный октаэдр (8 треугольников), правильный додекаэдр (12 пятиугольников) и правильный икосаэдр (20 треугольников).
Как пользоваться
Выберите многогранник из выпадающего списка, введите длину ребра и укажите единицу измерения (мм, см, м, дюймы или футы). Ребро автоматически переводится в метры, поэтому все результаты приводятся в СИ: объём — в м³, площадь поверхности — в м², оба радиуса — в м. Каждый результат — это фиксированный коэффициент, умноженный на степень длины ребра: объём пропорционален \(a^{3}\), площадь поверхности — \(a^{2}\), а оба радиуса — \(a\).
Разбор формул
Для правильного тетраэдра $$V = \frac{\sqrt{2}}{12}\cdot a^{3} \approx 0{,}117851\cdot a^{3} \quad \text{и} \quad S = \sqrt{3}\cdot a^{2} \approx 1{,}732051\cdot a^{2},$$ тогда как \(r_{\text{вп}} = \frac{\sqrt{6}}{12}\cdot a\) и \(r_{\text{оп}} = \frac{\sqrt{6}}{4}\cdot a\). У каждого из остальных четырёх тел свои коэффициенты в явном виде (проще всего с кубом: \(V = a^{3}\), \(S = 6a^{2}\), \(r_{\text{вп}} = a/2\), \(r_{\text{оп}} = (\sqrt{3}/2)a\)). Для любого тела радиус описанной сферы строго больше радиуса вписанной.
Пример расчёта
Возьмём куб с ребром \(a = 2\) м. $$V = 2^{3} = 8 \text{ м}^{3}.$$ $$S = 6 \times 2^{2} = 24 \text{ м}^{2}.$$ $$r_{\text{вп}} = \frac{2}{2} = 1 \text{ м}.$$ $$r_{\text{оп}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 2 = \sqrt{3} \approx 1{,}732051 \text{ м}.$$
Частые вопросы
Чем отличаются два радиуса сфер? Радиус вписанной сферы — это сфера, которая изнутри касается каждой грани; радиус описанной сферы — это сфера, проходящая через все вершины.
Можно ли задать ребро в дюймах или футах? Да — выберите нужную единицу, и значение будет переведено в метры перед расчётом, так что все результаты выводятся в СИ.
Что будет, если ввести ноль или отрицательное значение? У тела ребро обязано быть строго положительным, поэтому калькулятор отметит неположительный ввод как недопустимый.
