Что делает этот калькулятор
Инструмент принимает одно комплексное число z и возвращает две важнейшие величины: его комплексно-сопряжённое число и его модуль (абсолютную величину). Число z можно ввести как в алгебраической форме — например 3+4i, -2-5i, 7 или 4i, — так и в показательной (полярной) форме, например 5e^(0.9273i), где угол задаётся в радианах.
Как пользоваться
Введите комплексное число в поле и выберите количество значащих цифр в ответе (по умолчанию 10). Калькулятор разбирает действительную часть a и мнимую часть b и вычисляет оба результата. Настройка значащих цифр влияет только на то, как отображается ответ, но не на сам расчёт.
Разбор формул
Для \(z = a + bi\) сопряжённое число получается сменой знака мнимой части: $$\bar{z} = a - b\,i.$$ Модуль — это расстояние по теореме Пифагора от точки \((a, b)\) до начала координат: $$|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}.$$ Для числа в показательной форме \(r\cdot e^{\theta i}\) сначала переходим к алгебраической записи: \(a = r\cdot\cos(\theta)\) и \(b = r\cdot\sin(\theta)\).
Пример с решением
Пусть \(z = 3 + 4i\), тогда \(a = 3\) и \(b = 4\). Сопряжённое число меняет знак мнимой части и равно \(3 - 4i\). Модуль равен $$\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$ Запись в показательной форме \(5e^{0.9273i}\) задаёт ту же точку, поскольку \(5\cdot\cos(0.9273) \approx 3\) и \(5\cdot\sin(0.9273) \approx 4\).
Частые вопросы
Может ли модуль быть отрицательным? Нет. Это расстояние, поэтому оно всегда больше или равно нулю.
Чему равно сопряжённое действительного числа? Так как \(b = 0\), сопряжённое совпадает с самим числом.
В каких единицах задаётся угол в показательной форме? В радианах. Например, \(e^{3.14159i}\) приблизительно равно \(-1\).
