Что такое калькулятор сочетаний (nCr)?
Этот калькулятор находит число сочетаний — его записывают как nCr, \(C(n, r)\) или «число сочетаний из n по r». Это количество способов выбрать r элементов из множества в n различных элементов, когда порядок выбора не имеет значения. Выбрать {A, B} — это то же сочетание, что и выбрать {B, A}. Такая величина называется биномиальным коэффициентом и лежит в основе комбинаторики, теории вероятностей и статистики.
Как пользоваться калькулятором
Введите общее число элементов n и сколько из них нужно выбрать — r, после чего сразу увидите результат. Оба значения должны быть целыми неотрицательными числами, а r не может превышать n (на странице действует ограничение n ≥ r ≥ 0). Калькулятор использует точную арифметику больших чисел, поэтому даже очень крупные результаты остаются точными — без округлений.
Разбираем формулу
Классическое определение выглядит так: $$C(\text{n}, \text{r}) = \frac{\text{n}!}{\text{r}!\,\left(\text{n} - \text{r}\right)!}$$ Чтобы не вычислять огромные факториалы, калькулятор применяет устойчивую мультипликативную форму вместе со свойством симметрии \(C(n, r) = C(n, n - r)\): берём \(k = \min(r, n - r)\), начинаем с единицы и последовательно умножаем на \((n - k + i)\) и делим на \(i\) для \(i = 1..k\). Каждое деление выполняется нацело, поэтому промежуточное значение всегда остаётся целым числом.
Пример с решением
Сколько комбинаций из 2 карт можно составить из 4 карт? $$C(4, 2) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{24}{4} = \mathbf{6}$$ А вот пример с лотереей: выбор 6 чисел из 49 даёт \(C(49, 6) = 13\,983\,816\) различных билетов — именно поэтому шансы сорвать джекпот так малы.
Частые вопросы
Чем сочетания отличаются от размещений (перестановок)? В сочетаниях порядок не учитывается, а в размещениях — учитывается. Справедливо \(nPr = nCr \cdot r!\), поэтому при одних и тех же n и r число размещений всегда не меньше числа сочетаний.
Чему равно \(C(n, 0)\) или \(C(n, n)\)? Оба равны 1: существует ровно один способ не выбрать ничего и ровно один способ выбрать всё.
Может ли r быть больше n? Нет. Нельзя выбрать больше элементов, чем их есть на самом деле, поэтому при \(r > n\) получаем \(C(n, r) = 0\). Калькулятор считает такой случай некорректным и возвращает 0.
