Что такое логистическое распределение?
Логистическое распределение — это непрерывное распределение вероятностей, по форме напоминающее нормальное, но с более «тяжёлыми» хвостами. Оно задаётся параметром положения (его средним) \(\mu\) и положительным параметром масштаба \(s\). Функция распределения этой величины — хорошо известная логистическая сигмоида, поэтому само распределение встречается повсюду: в статистике, машинном обучении (логистическая регрессия) и моделировании роста. Этот калькулятор — чистая математика, и результаты одинаковы в любой точке мира.
Как пользоваться калькулятором
Введите значение \(x\), в котором нужно вычислить распределение, параметр положения \(\mu\) (среднее, оно же центр симметрии) и параметр масштаба \(s\), который должен быть строго положительным. Калькулятор выдаёт три числа: плотность вероятности \(f(x)\), нижнюю кумулятивную вероятность \(P(X \le x)\) и верхнюю кумулятивную вероятность \(P(X > x)\). Сумма двух кумулятивных вероятностей всегда равна 1.
Разбор формул
Сначала вычисляем стандартизованное значение \(z = (x - \mu) / s\). Нижняя функция распределения (CDF):
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$Плотность:
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$что равно \(F(x)(1 - F(x))/s\). Верхняя вероятность (функция выживания):
$$S(x) = 1 - F(x)$$Чтобы расчёты оставались численно устойчивыми при больших \(|z|\), сигмоида вычисляется по-разному для положительных и отрицательных \(z\) — так \(\exp()\) никогда не переполняется.
Пример расчёта
Пусть \(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\). Тогда
$$z = \frac{2 - 1}{2} = 0{,}5 \quad\text{и}\quad e^{-0{,}5} = 0{,}606531$$Нижняя CDF:
$$F = \frac{1}{1 + 0{,}606531} = 0{,}622459$$Верхняя CDF:
$$1 - 0{,}622459 = 0{,}377541$$Плотность:
$$f = \frac{0{,}622459 \times 0{,}377541}{2} = 0{,}117493$$Частые вопросы
За что отвечает параметр масштаба? Чем больше \(s\), тем шире «растягивается» распределение и ниже становится пик; чем меньше \(s\), тем острее пик. Максимальная плотность в точке \(x = \mu\) равна \(1/(4s)\).
Могут ли \(\mu\) или \(x\) быть отрицательными? Да. И \(x\), и \(\mu\) могут принимать любые действительные значения. Только \(s\) обязательно должно быть положительным.
Как это связано со стандартным логистическим распределением? При \(\mu = 0\) и \(s = 1\) получается стандартное логистическое распределение; в точке \(x = 0\) плотность равна \(0{,}25\), а обе кумулятивные вероятности — \(0{,}5\).
