¿Qué es la distribución logística?
La distribución logística es una distribución de probabilidad continua con una forma parecida a la de la distribución normal, pero con colas más pesadas. Queda definida por un parámetro de localización (su media) \(\mu\) y un parámetro de escala positivo \(s\). Su función de distribución acumulada es la conocida sigmoide logística, motivo por el cual esta distribución aparece constantemente en estadística, en aprendizaje automático (la regresión logística) y en el modelado de fenómenos de crecimiento. Esta calculadora es matemática pura, así que funciona exactamente igual en cualquier país.
Cómo utilizarla
Introduce el valor \(x\) en el que quieres evaluar la distribución, el parámetro de localización \(\mu\) (la media, que además es el centro de simetría) y el parámetro de escala \(s\), que debe ser estrictamente positivo. La calculadora devuelve tres resultados: la densidad de probabilidad \(f(x)\), la probabilidad acumulada inferior \(P(X \le x)\) y la probabilidad acumulada superior \(P(X > x)\). Las dos probabilidades acumuladas siempre suman 1.
Las fórmulas explicadas
Primero se calcula el valor estandarizado \(z = (x - \mu) / s\). La CDF inferior es
$$F(x) = \frac{1}{1 + e^{-z}}$$La densidad es
$$f(x) = \frac{e^{-z}}{s\left(1 + e^{-z}\right)^{2}}$$que equivale a \(F(x)(1 - F(x))/s\). La probabilidad superior (o de supervivencia) es \(S(x) = 1 - F(x)\). Para mantener la estabilidad numérica cuando \(|z|\) es grande, la sigmoide se calcula de forma distinta según \(z\) sea positivo o negativo, de modo que \(\exp()\) nunca se desborde.
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(x = 2\), \(\mu = 1\), \(s = 2\). Entonces \(z = (2 - 1)/2 = 0{,}5\) y \(e^{-0{,}5} = 0{,}606531\). La CDF inferior es
$$F = \frac{1}{1 + 0{,}606531} = 0{,}622459$$La CDF superior es \(1 - 0{,}622459 = 0{,}377541\). La densidad es
$$f = \frac{0{,}622459 \times 0{,}377541}{2} = 0{,}117493$$Preguntas frecuentes
¿Qué hace el parámetro de escala? Un valor de \(s\) más grande dispersa la distribución y rebaja el pico; un valor de \(s\) más pequeño la hace más estrecha y puntiaguda. La densidad máxima, situada en \(x = \mu\), vale \(1/(4s)\).
¿Pueden ser negativos \(\mu\) o \(x\)? Sí. Tanto \(x\) como \(\mu\) pueden ser cualquier número real. Solo \(s\) tiene que ser positivo.
¿Cómo se relaciona con la logística estándar? Con \(\mu = 0\) y \(s = 1\) obtienes la distribución logística estándar; en \(x = 0\) la densidad vale \(0{,}25\) y ambas probabilidades acumuladas son \(0{,}5\).
